Projektive Gerade/Rationale Funktion/u+u invers/Aufgabe/Lösung

1. Es ist kein volles lineares System, da es in ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(2)\right)}$ die drei linear unabhängigen Schnitte ${}WZ,W^{2},Z^{2}$ gibt.
2. Der zugehörige Morphismus zu einer Familie von globalen Schnitten ist nach Definition auf den Invertierbarkeitsmengen der Schnitte definiert. Diese sind ${}D_{+}(WZ)$ bzw. ${}D_{+}(W^{2}+Z^{2})$. Auf der ersten Menge ist die Abbildung durch

   $D_{+}(WZ)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{(0)\}\longrightarrow D_{+}(X)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

   mit ${}{\frac {Y}{X}}\mapsto {\frac {W^{2}+Z^{2}}{WZ}}={\frac {W}{Z}}+{\frac {Z}{W}}=u^{-1}+u$ gegeben.

   Auf der zweiten Menge ist die Abbildung durch (${}{\mathrm {i} }$ bezeichne eine Quadratwurel der ${}-1$)

   $D_{+}(W^{2}+Z^{2})\cong {\mathbb {P} }_{K}^{1}\setminus \{(1,{\mathrm {i} }),(1,-{\mathrm {i} })\}\longrightarrow D_{+}(Y)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

   mit ${}{\frac {X}{Y}}\mapsto {\frac {WZ}{W^{2}+Z^{2}}}={\frac {1}{u+u^{-1}}}={\frac {u}{u^{2}+1}}$ gegeben.

3. Das System ist basispunktfrei, da die beiden Mengen ${}D_{+}(WZ)$ und ${}D_{+}(W^{2}+Z^{2})$. die projektive Gerade überdecken: Falls nämlich ${}P\notin D_{+}(WZ)\cup D_{+}(W^{2}+Z^{2})$ ist, so ist zunächst eine der Koordinaten gleich ${}0$, doch dann ist auch die zweite Koordinate gleich ${}0$.
4. Die Körpererweiterung ${}K(t)\subseteq K(u)$ der Funktionenkörper ist durch ${}t\mapsto u+u^{-1}$ gegeben. Der Grad ist ${}2$, da ${}u$ die quadratische Gleichung

   ${}u^{2}-(u+u^{-1})u+1=0\,$

   über ${}K(t)$ erfüllt, und es sich nicht um die identitsche Erweiterung handeln kann, da beispielsweise durch ${}u\mapsto u^{-1}$ ein nichttrivialer ${}K(t)$-Körperautomorphismus gegeben ist.

5. Sei ${}(x,y)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und zuerst beide Koordinaten von ${}0$ verschieden. Wir arbeiten mit der obigen affinen Beschreibung, also mit der Abbildung

   ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,u\longmapsto u+u^{-1}.$

   Das Urbild zu einem Punkt ${}b$ besteht aus den Lösungen der Gleichung ${}u+u^{-1}=b$, also

   ${}u^{2}-bu+1=0\,,$

   also

   ${}u=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}-4}}+{\frac {b}{2}}\,.$

   Sei ${}b\neq 2,-2$ und ${}a$ ein Urbild von ${}b$. Für den lokalen Ringhomomorphismus

   $K[t]_{(t-b)}\longrightarrow K[u]_{(u-a)},\,t\longmapsto u+u^{-1}$

   gilt

   ${}t-b=u+u^{-1}-b={\frac {1}{u}}(u^{2}-bu+1)={\frac {1}{u}}(u+a)(u-a)\,$

   und ${}{\frac {1}{u}}(u+a)$ ist eine Einheit und ${}u-a$ eine Ortsuniformisierende in ${}K[u]_{(u-a)}$. Daher ist die Verzweigungsordnung gleich ${}1$. Bei

   ${}b=2,-2\,$

   gibt es nur das Urbild ${}1$ bzw. ${}-1$. Für den lokalen Ringhomomorphismus

   $K[t]_{(t-2)}\longrightarrow K[u]_{(u-1)}$

   gilt

   ${}t-2=u+u^{-1}-2={\frac {1}{u}}(u^{2}-2u+1)={\frac {1}{u}}(u-1)^{2}\,$

   und die Verzweigungsordnung ist ${}2$. Entsprechend für ${}b=-2$. Das Urbild des Nullpunktes in ${}D_{+}(X)$, also von ${}(1,0)$ (bzw. ${}(Y)$), besteht aus ${}(W-{\mathrm {i} }Z)$ und ${}(W+{\mathrm {i} }Z)$. Der lokale Ringhomomorphismus ist

   $K[t]_{(t)}\longrightarrow K[u]_{(u-{\mathrm {i} })}$

   und wegen

   ${}t=u+u^{-1}={\frac {1}{u}}(u^{2}+1)={\frac {1}{u}}(u+{\mathrm {i} })(u-{\mathrm {i} })\,$

   ist die Verzweigungsordnung ${}1$. Das Urbild des unendlich fernen Punktes, also von ${}(0,1)$ bzw. ${}(Y)$, besteht aus ${}(1,0)$ bzw. ${}(0,1)$. Der lokale Ringhomomorphismus ist einerseits

   $K[t^{-1}]_{(t^{-1})}\longrightarrow K[u]_{(u)}$

   mit

   ${}t^{-1}={\frac {u}{u^{2}+1}}\,,$

   also Verzweigungsindex ${}1$ und andererseits

   $K[t^{-1}]_{(t^{-1})}\longrightarrow K[u^{-1}]_{(u^{-1})}$

   mit

   ${}t^{-1}={\frac {u}{u^{2}+1}}={\frac {u\cdot u^{-2}}{(u^{2}+1)\cdot u^{-2}}}={\frac {u^{-1}}{(1+u^{-2})}}\,,$

   und dies hat auch Verzweigungsordnung ${}1$.

6. Es geht darum, den Hauptdivisor zu ${}u+u^{-1}$ auf der projektiven Geraden zu bestimmen. Wenn

   ${}u=0,\infty \,$

   ist, so liegt ein Pol, jeweils der Ordnung ${}1$ vor. Andernfalls ist ${}u+u^{-1}$ definiert und besitzt die beiden einfachen Nullstellen ${}{\mathrm {i} }$ und ${}-{\mathrm {i} }$. Der Hauptdivisor ist also (in Koordinatennotation von der affinen Geraden ${}D_{+}(W)$ aus gesehen)

   $1\cdot ({\mathrm {i} })+1\cdot (-{\mathrm {i} })-1\cdot (0)-1\cdot (\infty )$

   bzw. in homogenen Primidealen der Höhe ${}1$ ausgedrückt

   $1\cdot (W-{\mathrm {i} }Z)+1\cdot (W+{\mathrm {i} }Z)-1\cdot (W)-1\cdot (Z).$

Zur gelösten Aufgabe