Projektive Gerade/Rationale Funktion/u+u invers/Aufgabe

Es seien ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[W,Z]\right)}$ projektive Geraden mit den Funktionenkörpern ${}K(t)$, ${}t={\frac {Y}{X}}$ bzw. ${}K(u)$, ${}u={\frac {Z}{W}}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2$. Wir betrachten auf der zweiten projektiven Geraden das durch ${}WZ,W^{2}+Z^{2}\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(2)\right)}$ gegebene lineare System mit der zugehörigen Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(w,z)\longmapsto (wz,w^{2}+z^{2}).$

1. Handelt es sich um ein volles lineares System?
2. Bestimme die Urbilder zu ${}D_{+}(X)$ und ${}D_{+}(Y)$ und beschreibe die induzierten Abbildungen zwischen den affinen offenen Teilmengen.
3. Handelt es sich um ein basispunktfreies lineares System?
4. Beschreibe die zugehörige Körpererweiterung

   ${}K(t)\subseteq K(u)\,$

   der Funktionenkörper. Welchen Grad besitzt sie?

5. Bestimme für jeden Punkt ${}(x,y)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ das Urbild unter ${}\varphi$ sowie die jeweilige Verzweigungsordnung.
6. Beschreibe den zurückgezogenen Divisor ${}\varphi ^{*}(0-\infty )=\varphi ^{*}((Y)-(X))$.

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