Projektive Gerade/Riemann-Hurwitz/Verzweigungsdivisor/Polynom/Aufgabe/Lösung

1. Verzweigung findet in den Nullstellen der Ableitung von ${}F$ und eventuell im unendlich fernen Punkt statt. Es sei

   ${}F'=c(z-a_{1})^{s_{1}}\cdots (z-a_{k})^{s_{k}}\,$

   die Primfaktorzerlegung der Ableitung. In ${}{\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ findet Verzweigung genau in den Punkten ${}a_{i}$ statt und die Ordnung des Verzweigungsdivisors in diesen Punkten ist nach Fakt  (3) genau ${}s_{i}$. Der unendlich ferne Punkt wird mit Vielfachheit ${}n$ angenommen, das ist die Verzweigungsordnung. Die Ordnung des Verzweigungsdivisors in diesem Punkt ist also ${}n-1$. Daher ist der Verzweigungsdivisor gleich

   $\sum _{i=1}^{k}s_{i}\{a_{i}\}+(n-1)\infty .$

2. Der Grad von ${}\varphi$ ist gleich dem Grad des Polynoms, also gleich ${}n$. Die Ableitung ${}F'$ besitzt den Grad ${}n-1$ und dies stimmt mit der Summe ${}\sum s_{i}$ überein. Der Verzweigungsdivisor besitzt den Grad

   ${}\sum s_{i}+(n-1)=2(n-1)=2(\operatorname {Grad} \,(\varphi )1)\,.$

Zur gelösten Aufgabe