Projektive Gerade/Riemann-Hurwitz/Verzweigungsdivisor/Rationale Funktion/1/Aufgabe/Lösung

1. Die Ableitung von

   ${}f(z)={\frac {(z-1)(z+1)}{z}}={\frac {z^{2}-1}{z}}=z-{\frac {1}{z}}\,$

   ist

   ${}f'(z)=1+z^{-2}\,.$

   Somit liegt innerhalb von ${}{\mathbb {C} }$ Verzweigung in den Punkten ${}{\mathrm {i} }$ und ${}-{\mathrm {i} }$ vor, beide mit Verzweigungsindex ${}2$, da er höher nicht sein kann. In der Variablen

   ${}w=z^{-1}\,$

   besitzt die Abbildung die entsprechende Beschreibung ${}w^{-1}+w$, daher liegt im unendlich fernen Punkt keine Verzweigung vor. Der Verzweigungsdivisor ist also ${}1\cdot \{{\mathrm {i} }\}-1\cdot \{{\mathrm {i} }\}$.

2. Der Grad der Abbildung ist das Maximum von Zähler- und Nennergrad, also gleich ${}2$. Daher ist

   ${}\operatorname {Grad} \,(R)=2=2(2-1)\,.$

Zur gelösten Aufgabe