Projektive Kurve/Fermat-Kurve vom Grad d/Glattheit/Fakt/Beweis

Beweis

Da Glattheit eine lokale Eigenschaft ist, können wir mit einem beliebigen affinen Ausschnitt argumentieren. Da die Situation symmetrisch ist, können wir uns auf das affine Teilstück

${}V(X^{d}+Y^{d}+1)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

beschränken. Die partiellen Ableitungen sind $dX^{d-1}$ und $dY^{d-1}$. Aufgrund der Voraussetzung über die Charakteristik ist ${}d\neq 0$, sodass beide Ableitungen nur bei ${}x=y=0$ verschwinden. Dieser Punkt gehört aber nicht zur Kurve.

Zur bewiesenen Aussage