Projektive Varietät/Wird überdeckt von affinen Varietäten/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}D_{+}(X_{i})=D_{+}(X_{i})\cap Y\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cap Y\,,$

wobei links die zugehörige offene Menge in ${}Y$ steht und rechts die entsprechende offene Teilmenge des projektiven Raumes. Daher ist ${}D_{+}(X_{i})\cap Y$ eine abgeschlossene (siehe Aufgabe) Teilmenge des affinen Raumes ${}D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und als solche selbst eine affine Varietät. Da die $D_{+}(X_{i}),\,i=0,\ldots ,n$, den projektiven Raum überdecken, gilt dies auch für die Durchschnitte mit ${}Y$.

Zur bewiesenen Aussage