Projektive ebene Kurve/Glattheit/Homogenes Kriterium/Aufgabe/Lösung

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Partielles Ableiten bezüglich einer Variablen und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen sind vertauschbar.

Es sei ein Punkt der Kurve. Dieser Punkt liegt in einer der offenen affinen Mengen oder , auf der wir die Glattheit testen können. Ohne Einschränkung können wir annehmen. Wir schreiben . Es sei die inhomogene Gleichung der Kurve, die aus entsteht, indem man gleich setzt. Wenn ein glatter Punkt von ist, so bedeutet dies, dass die beiden partiellen Ableitungen und nicht simultan im Punkt verschwinden. Sagen wir

Nach der Vorbemerkung ist dann auch

und das homogene Ableitungskriterium ist erfüllt.

Wenn umgekehrt das homogene Kriterium erfüllt ist, und

(bzw. die partielle Ableitung nach ), so ergibt sich direkt

Nach Aufgabe ist

Dies bedeutet, dass wenn die partiellen Ableitungen und

im Punkt verschwinden, dass dann auch in diesem Punkt verschwindet, und das homogene Kriterium nicht erfüllt sein kann.