Projektive ebene Kurve/Glattheit/Homogenes Kriterium/Aufgabe/Lösung

Partielles Ableiten bezüglich einer Variablen ${}X$ und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen ${}Y$ sind vertauschbar.

Es sei ${}P\in V_{+}(F)$ ein Punkt der Kurve. Dieser Punkt liegt in einer der offenen affinen Mengen ${}D_{+}(X),D_{+}(Y)$ oder ${}D_{+}(Z)$, auf der wir die Glattheit testen können. Ohne Einschränkung können wir ${}P\in D_{+}(X)$ annehmen. Wir schreiben ${}P=(1,b,c)$. Es sei ${}G$ die inhomogene Gleichung der Kurve, die aus ${}F$ entsteht, indem man ${}X$ gleich ${}1$ setzt. Wenn ${}P$ ein glatter Punkt von ${}V(G)$ ist, so bedeutet dies, dass die beiden partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial G}{\partial Y}}$ und ${}{\frac {\partial G}{\partial Z}}$ nicht simultan im Punkt ${}P=(a,b)$ verschwinden. Sagen wir

${}{\frac {\partial G}{\partial Y}}(P)\neq 0\,.$

Nach der Vorbemerkung ist dann auch

${}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(a,b,1)={\frac {\partial G}{\partial Y}}(a,b)\neq 0\,$

und das homogene Ableitungskriterium ist erfüllt.

Wenn umgekehrt das homogene Kriterium erfüllt ist, und

${}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(a,b,1)\neq 0\,$

(bzw. die partielle Ableitung nach ${}Z$), so ergibt sich direkt

${}{\frac {\partial G}{\partial Y}}(P)\neq 0\,.$

Nach Aufgabe ist

${}\operatorname {grad} \,(F)\cdot F=X{\frac {\partial F}{\partial X}}+Y{\frac {\partial F}{\partial Y}}+Z{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,.$

Dies bedeutet, dass wenn die partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial F}{\partial Y}}$ und ${}{\frac {\partial F}{\partial Z}}$

im Punkt ${}P$ verschwinden, dass dann auch ${}{\frac {\partial F}{\partial X}}$ in diesem Punkt verschwindet, und dass das homogene Kriterium nicht erfüllt sein kann.

Zur gelösten Aufgabe