Projektiver Raum/Effektiver Divisor/Funktion/Glatte Kurve/Induzierter Divisor/Schnitt/Aufgabe
Erscheinungsbild
Es sei
die Primfaktorzerlegung eines homogenen Polynoms (über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ) vom Grad im homogene Primpolynome und sei
der zugehörige Weildivisor auf dem projektiven Raum . Zeige die folgenden Aussagen.
- Man kann jeden effektiven Weildivisor auf dem projektiven Raum in dieser Form (eindeutig bis auf Skalierung) darstellen.
- Es gilt mengentheoretisch
- Es sei eine glatte projektive Kurve, die keine Teilmenge von sei. Dann induziert einen Weildivisor auf der Kurve , indem man zu jedem Punkt die Ordnung von in betrachtet.
- Die eingeschränkte invertierbare Garbe ist isomorph zur invertierbaren Garbe auf ist, die zu gehört. Es gilt also
- Linear äquivalente Divisoren auf dem projektiven Raum induzieren linear äquivalente Divisoren auf der Kurve.