Normales Schema/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt

Wir nennen eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge ${}Y\subset X$ der Kodimension ${}1$ in einem integren Schema ${}X$ einen Primdivisor. Wenn ${}X$ normal und noethersch ist, so ist der lokale Ring ${}{\mathcal {O}}_{X,\eta }$ am generischen Punkt ${}\eta$ zu ${}Y$ ein diskreter Bewertungsring. Somit besitzt jedes Element ${}f\neq 0$ aus dem Funktionenkörper ${}K(X)$ eine wohlbestimmte Ordnung ${}\operatorname {ord} \,(f)$ längs ${}Y$, die wir mit ${}\operatorname {ord} _{Y}\,(f)$ bezeichnen. Wenn ${}\pi$ die Ortsuniformisierende im diskreten Bewertungsring ${}{\mathcal {O}}_{X,\eta }$ bezeichnet, so kann man ${}f=u\pi ^{n}$ mit einer Einheit ${}u$ aus dem Ring und ${}n\in \mathbb {Z}$ schreiben, und dieser Exponent ${}n$ ist die Ordnung von ${}f$ längs ${}Y$ heißt. Bei positiver Ordnung spricht man von einer Nullstelle, bei negativer Ordnung von einem Pol. Wenn ${}U=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\subseteq X$ eine offene affine Teilmenge mit ${}U\cap Y\neq \emptyset$ ist, so entspricht ${}Y$ einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ der Höhe ${}1$ in ${}R$ und für den lokalen Ring gilt ${}{\mathcal {O}}_{X,\eta }=R_{\mathfrak {p}}$.

Definition

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper ${}K$ und sei ${}f\in K$, ${}f\neq 0$. Dann heißt die formale Summe

$\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{Y{\text{ Primdivisor }}}\operatorname {ord} _{Y}\,(f)\cdot Y\,,$

wobei ${}\operatorname {ord} _{Y}\,(f)$ die Ordnung von ${}f$ im lokalen Ring zu ${}Y$ bezeichnet, der durch ${}f$ definierte Hauptdivisor.

Der Hauptdivisor beschreibt also das Nullstellen- und das Polverhalten der Funktion ${}f$. Wir zeigen zunächst, dass es sich bei einem Hauptdivisor um eine endliche Summe handelt.

Lemma

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper ${}K$ und sei ${}f\in K$, ${}f\neq 0$.

Dann gibt es nur endlich viele Primdivisoren ${}Y$ mit

${}\operatorname {ord} _{Y}\,(f)\neq 0\,,$

Beweis

Es sei ${}U\subseteq X$ eine nichtleere offene affine Teilmenge mit

${}f\in R=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\,.$

Da der generische Punkt von ${}X$ zu ${}U$ gehört, sind die Primdivisoren, die ${}U$ nicht treffen, irreduzible Komponenten von ${}X\setminus U$. Da ${}X\setminus U$ eine abgeschlossene Teilmenge von ${}X$ und damit noethersch ist, gibt es dort nur endlich viele Komponenten. D.h. wir müssen nur noch diejenigen Primdivisoren betrachten, die ${}U$ treffen. Deren generische Punkte entsprechen dann Primidealen der Höhe ${}1$ von ${}R$. Es ist

${}\operatorname {ord} _{Y}\,(f)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 0\,$

und dies ist nur dann positiv, wenn ${}f\in {\mathfrak {p}}$ ist. Die Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ der Höhe ${}1$ oberhalb von ${}f$ sind die minimalen Primideale von ${}R/(f)$, und wegen noethersch gibt es davon nur endlich viele.

$\Box$

Definition

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt man eine formale Summe ${}\sum _{Y}n_{Y}\cdot Y$, wobei ${}Y$ die Primdivisoren von ${}X$ durchläuft und nur endlich viele der ${}n_{Y}$ von ${}0$ verschieden sind, einen Weildivisor auf ${}X$.

Ein Weildivisor ist eine freie Vorgabe für das „theoretisch mögliche“ Nullstellen- bzw Polverhalten einer rationalen Funktion, allerdings muss ein solche Vorgabe nicht durch eine Funktion realisiert werden können. Einen Divisor, bei dem sämtliche Zahlen ${}a_{Y}\geq 0$ sind, nennt man effektiv. Auf einer irreduziblen normalen (also glatten) Kurve ${}X$ ist ein Primdivisor einfach ein abgeschlossener Punkt. Ein Weildivisor ist also in diesem Fall einfach eine endliche Summe ${}\sum _{P\in X}n_{P}\cdot P$.

Definition

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt die Gruppe aller Weildivisoren mit komponentenweiser Addition die Weildivisorengruppe von ${}X$. Sie wird mit ${}\operatorname {Div} \,(X)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper ${}K$.

Dann ist die Zuordnung

$K^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} \,(X),\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},$

ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Nach Fakt ist der Hauptdivisor zu ${}f$ in der Tat ein Weildivisor. Die Homomorphieeigenschaft folgt, bezogen auf einen fixierten Primdivisor ${}Y$ mit dem zugehörigen diskreten Bewertungsring ${}{\mathcal {O}}_{Y}$, aus Fakt  (1).

$\Box$