Normales Schema/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt

Wir nennen eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge  $Y\subset X$  der Kodimension $1$ in einem integren Schema $X$ einen Primdivisor. Wenn $X$ normal und noethersch ist, so ist der lokale Ring ${𝒪}_{X,\eta }$ am generischen Punkt $\eta$ zu $Y$ ein diskreter Bewertungsring. Somit besitzt jedes Element  $f\ne 0$  aus dem Funktionenkörper $K(X)$ eine wohlbestimmte Ordnung $\mathrm{ord}\left(f\right)$ längs $Y$, die wir mit ${\mathrm{ord}}_Y\left(f\right)$ bezeichnen. Wenn $\pi$ die Ortsuniformisierende im diskreten Bewertungsring ${𝒪}_{X,\eta }$ bezeichnet, so kann man  $f=u{\pi }^n$  mit einer Einheit $u$ aus dem Ring und  $n\in \mathbb{Z}$  schreiben, und dieser Exponent $n$ ist die Ordnung von $f$ längs $Y$ heißt. Bei positiver Ordnung spricht man von einer Nullstelle, bei negativer Ordnung von einem Pol. Wenn  $U=\mathrm{Spek}\left(R\right)\subseteq X$  eine offene affine Teilmenge mit  $U\cap Y\ne \mathrm{\varnothing }$  ist, so entspricht $Y$ einem Primideal $𝔭$ der Höhe $1$ in $R$ und für den lokalen Ring gilt  ${𝒪}_{X,\eta }=R_{𝔭}$. 

Definition

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper $K$ und sei $f\in K$, $f\ne 0$. Dann heißt die formale Summe

$\mathrm{div}\left(f\right)=\sum _{Y\text{ Primdivisor }}{\mathrm{ord}}_Y\left(f\right)\cdot Y,$

wobei ${\mathrm{ord}}_Y\left(f\right)$ die Ordnung von $f$ im lokalen Ring zu $Y$ bezeichnet, der durch $f$ definierte Hauptdivisor.

Der Hauptdivisor beschreibt also das Nullstellen- und das Polverhalten der Funktion $f$. Wir zeigen zunächst, dass es sich bei einem Hauptdivisor um eine endliche Summe handelt.

Lemma

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper $K$ und sei $f\in K$, $f\ne 0$.

Dann gibt es nur endlich viele Primdivisoren $Y$ mit

${\mathrm{ord}}_Y\left(f\right)\ne 0,$

Beweis

Es sei  $U\subseteq X$  eine nichtleere offene affine Teilmenge mit

$f\in R=\Gamma (U,{𝒪}_X).$

Da der generische Punkt von $X$ zu $U$ gehört, sind die Primdivisoren, die $U$ nicht treffen, irreduzible Komponenten von $X\setminus U$. Da $X\setminus U$ eine abgeschlossene Teilmenge von $X$ und damit noethersch ist, gibt es dort nur endlich viele Komponenten. D.h. wir müssen nur noch diejenigen Primdivisoren betrachten, die $U$ treffen. Deren generische Punkte entsprechen dann Primidealen der Höhe $1$ von $R$. Es ist

${\mathrm{ord}}_Y\left(f\right)={\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(f\right)\ge 0$

und dies ist nur dann positiv, wenn  $f\in 𝔭$  ist. Die Primideale $𝔭$ der Höhe $1$ oberhalb von $f$ sind die minimalen Primideale von $R/(f)$, und wegen noethersch gibt es davon nur endlich viele.

$◻$

Definition

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt man eine formale Summe $\sum _Y{n}_Y\cdot Y$, wobei $Y$ die Primdivisoren von $X$ durchläuft und nur endlich viele der $n_Y$ von $0$ verschieden sind, einen Weildivisor auf $X$.

Ein Weildivisor ist eine freie Vorgabe für das „theoretisch mögliche“ Nullstellen- bzw Polverhalten einer rationalen Funktion, allerdings muss ein solche Vorgabe nicht durch eine Funktion realisiert werden können. Einen Divisor, bei dem sämtliche Zahlen  $a_Y\ge 0$  sind, nennt man effektiv. Auf einer irreduziblen normalen (also glatten) Kurve $X$ ist ein Primdivisor einfach ein abgeschlossener Punkt. Ein Weildivisor ist also in diesem Fall einfach eine endliche Summe $\sum _{P\in X}{n}_P\cdot P$.

Definition

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt die Gruppe aller Weildivisoren mit komponentenweiser Addition die Weildivisorengruppe von $X$. Sie wird mit $\mathrm{Div}(X)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper $K$.

Dann ist die Zuordnung

$K^{\times }⟶\mathrm{Div}(X),f⟼\mathrm{div}\left(f\right),$

ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Nach Fakt ist der Hauptdivisor zu $f$ in der Tat ein Weildivisor. Die Homomorphieeigenschaft folgt, bezogen auf einen fixierten Primdivisor $Y$ mit dem zugehörigen diskreten Bewertungsring ${𝒪}_Y$, aus Fakt  (1).

$◻$