Normales Schema/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt

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Wir nennen eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge der Kodimension in einem integren Schema einen Primdivisor. Wenn normal und noethersch ist, so ist der lokale Ring am generischen Punkt zu ein diskreter Bewertungsring. Somit besitzt jedes Element aus dem Funktionenkörper eine wohlbestimmte Ordnung längs , die wir mit bezeichnen. Wenn die Ortsuniformisierende im diskreten Bewertungsring bezeichnet, so kann man mit einer Einheit aus dem Ring und schreiben, und dieser Exponent ist die Ordnung von längs heißt. Bei positiver Ordnung spricht man von einer Nullstelle, bei negativer Ordnung von einem Pol. Wenn eine offene affine Teilmenge mit ist, so entspricht einem Primideal der Höhe in und für den lokalen Ring gilt .


Definition  

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper und sei , . Dann heißt die formale Summe

wobei die Ordnung von im lokalen Ring zu bezeichnet, der durch definierte Hauptdivisor.

Der Hauptdivisor beschreibt also das Nullstellen- und das Polverhalten der Funktion . Wir zeigen zunächst, dass es sich bei einem Hauptdivisor um eine endliche Summe handelt.



Lemma  

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper und sei , .

Dann gibt es nur endlich viele Primdivisoren mit

Beweis  

Es sei eine nichtleere offene affine Teilmenge mit

Da der generische Punkt von zu gehört, sind die Primdivisoren, die nicht treffen, irreduzible Komponenten von . Da eine abgeschlossene Teilmenge von und damit noethersch ist, gibt es dort nur endlich viele Komponenten. D.h. wir müssen nur noch diejenigen Primdivisoren betrachten, die treffen. Deren generische Punkte entsprechen dann Primidealen der Höhe von . Es ist

und dies ist nur dann positiv, wenn ist. Die Primideale der Höhe oberhalb von sind die minimalen Primideale von , und wegen noethersch gibt es davon nur endlich viele.



Definition  

Es sei ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt man eine formale Summe , wobei die Primdivisoren von durchläuft und nur endlich viele der von verschieden sind, einen Weildivisor auf .

Ein Weildivisor ist eine freie Vorgabe für das „theoretisch mögliche“ Nullstellen- bzw Polverhalten einer rationalen Funktion, allerdings muss ein solche Vorgabe nicht durch eine Funktion realisiert werden können. Einen Divisor, bei dem sämtliche Zahlen sind, nennt man effektiv. Auf einer irreduziblen normalen (also glatten) Kurve ist ein Primdivisor einfach ein abgeschlossener Punkt. Ein Weildivisor ist also in diesem Fall einfach eine endliche Summe .


Definition  

Es sei ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt die Gruppe aller Weildivisoren mit komponentenweiser Addition die Weildivisorengruppe von . Sie wird mit bezeichnet.



Lemma  

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper .

Dann ist die Zuordnung

ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis  

Nach Fakt ist der Hauptdivisor zu in der Tat ein Weildivisor. Die Homomorphieeigenschaft folgt, bezogen auf einen fixierten Primdivisor mit dem zugehörigen diskreten Bewertungsring , aus Fakt  (1).