Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarbe/Garbenkohomologie/Fakt

Kohomologie der getwisteten Strukturgarben auf dem projektiven Raum

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A=R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]$ der Polynomring über ${}R$ in ${}d+1\geq 2$ Variablen und

${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}=\operatorname {Proj} {\left(A\right)}\,$

der zugehörige projektive Raum.

Dann ist die Kohomologie der getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(n)$ gleich

${}{\check {H}}^{p}({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(n))={\begin{cases}A_{n}{\text{ für }}p=0,\\0{\text{ für }}1\leq p\leq d-1,\\\bigoplus _{\alpha \in \mathbb {Z} _{-}^{d+1},\,\sum _{j=1}^{d+1}\alpha _{j}=n}R\cdot X^{\alpha }{\text{ für }}p=d\,.\end{cases}}\,$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen