Projektiver Raum/Kegelabbildung/Zariski-Topologie/Stetig/Aufgabe/Lösung

Die Kegelabbildung schickt einen Punkt mit den Koordinaten

$(x_{0},\ldots ,x_{n})$

auf den projektiven Punkt mit den homogenen Koordinaten

$(x_{0},\ldots ,x_{n}).$

Da für ein homogenes Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ die Beziehung

${}V_{+}({\mathfrak {a}})=\bigcap _{F\in {\mathfrak {a}},\,F{\text{ homogen}}}V_{+}(F)\,$

im projektiven Raum und entsprechend

${}V({\mathfrak {a}})=\bigcap _{F\in {\mathfrak {a}}}V(F)\,$

im affinen Raum gilt, genügt es, die Aussage für ein homogenes Polynom ${}F$ zu zeigen. Diese ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}\pi ^{-1}(V_{+}(F))&={\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\mid \pi (x_{0},\ldots ,x_{n})\in V_{+}(F)\right\}}\\&={\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}}\\&={\left({{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\right)}\cap V(F).\end{aligned}}$

Dies bedeutet, dass unter der Kegelabbildung Urbilder abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind, was die Stetigkeit besagt.

Zur gelösten Aufgabe