Projektiver Raum/O(n)/Sehr ampel/Beispiel

Auf dem projektiven Raum ${\mathbb{P}}_R^n$ über einem kommutativen Ring $R$ sind die invertierbaren Garben ${𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}(k)$ für  $k\ge 1$  sehr ampel. Es ist

$\Gamma ({\mathbb{P}}_R^n,{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}(k))=R[X_0,X_1,\dots ,X_n{]}_k$

und wir betrachten das durch sämtliche Monome aus $R[X_0,X_1,\dots ,X_n]$ vom Grad $k$ erzeugte lineare System und den zugehörigen Morphismus

$\phi :{\mathbb{P}}_R^n⟶{\mathbb{P}}_R^m,$

wobei $m$ die Anzahl dieser Monome weniger $1$ bezeichne. Auf  $D_{+}(X_0)={\left({\mathbb{P}}_R^n\right)}_{X_0^k}$  ist die Abbildung durch

${𝔸}_R^n⟶D_{+}(Y_{\nu })\subseteq {\mathbb{P}}_R^m,(\frac{X_1}{X_0},\dots ,\frac{X_n}{X_0})⟼(\frac{X^{\mu }}{X_0^k},\mu \text{ Monom vom Grad }k\text{ in }n+1\text{ Variablen})$

gegeben (und entsprechend auf den anderen $D_{+}(X_i)$). Auf der Ebene der Polynomringe ist dies der Einsetzungshomomorphismus

$R[S_{\mu },\mu \in I_k]⟶R[T_1,\dots ,T_n],S_{\mu }⟼T^{\mu },$

wobei $I_k$ die Indexmenge aller Monome in $n$ Variablen vom Grad $\le k$ (!) bezeichnet. Diese Abbildung ist surjektiv und somit liegt eine abgeschlossene Einbettung vor.

Bei  $k\le 0$  und  $n\ge 1$  sind die ${𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}(k)$ nicht sehr ampel.