Projektiver Raum/R/Kählermodul/Fakt

Satz über die Kotangentialgarbe auf dem projektiven Raum

Es sei  ${\mathbb{P}}_R^n=\mathrm{Proj}(R[X_0,X_1,\dots ,X_n])$  der projektive Raum über einem kommutativen Ring $R$.

Dann wird der ${𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}$-Modul der Kähler-Differentiale ${\Omega }_{{\mathbb{P}}_R^n|R}$ durch die kurze exakte Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}{\Omega }_{{\mathbb{P}}_R^n|R}\stackrel{}{⟶}{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}(-1{)}^{\oplus n+1}\stackrel{X_0,\dots ,X_n}{⟶}{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}\stackrel{}{⟶}0$

zusammen mit der universellen Derivation, die auf jeder offenen Menge  $U\subseteq {\mathbb{P}}_R^n$  eine Funktion  $f\in \Gamma (U,{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n})$  auf

$df=(\frac{\partial f}{\partial X_0},\dots ,\frac{\partial f}{\partial X_n})$

abbildet, beschrieben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen