Projektiver Raum/R/Kählermodul/Fakt/Beweis

Beweis

Wir bezeichnen die Kerngarbe links, die wir als Kähler-Modul nachweisen wollen, mit

$𝒮=\mathrm{Syz}(X_0,\dots ,X_n).$

Die angegebene Abbildung $d$ (die ja von der universellen Derivation auf dem $n+1$-dimensionalen Raum herrührt) macht aus einer Funktion vom Grad $0$ eine Funktion vom Grad $-1$, was man direkt für (rationale) Monome überprüfen kann. Daher liegt eine $R$-lineare Abbildung

$d:\Gamma (U,{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n})⟶\Gamma (U,{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}(-1{)}^{\oplus n+1})$

vor. Die Leibnizregel überträgt sich hierher, da ja die partiellen Ableitungen die Leibnizregel erfüllen. Es ist zu zeigen, dass das Bild von $d$ im Kern der hinteren Abbildung landet. Für ein Monom $X^{\nu }$ vom Grad $0$ ist aber

$\sum _{j=0}^n{X}_j\frac{\partial X^{\nu }}{\partial X_j}=\sum _{j=0}^n\left({\nu }_j{X}^{\nu }\right)=\left(\sum _{j=0}^n{\nu }_j\right)X^{\nu }=0.$

Betrachten wir die Situation auf $D_{+}(X_0)$ und setzen wir  $Y_j=\frac{X_j}{X_0}$.  Dann ist unter Verwendung von Beispiel und Beispiel

$\begin{array}{cc}\Gamma (D_{+}(X_0),𝒮)& =\mathrm{kern}\left(\Gamma {(D_{+}(X_0),{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}(-1))}^{\oplus n+1}\stackrel{X_0,X_1,\dots ,X_n}{⟶}\Gamma (D_{+}(X_0),{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n})\right)\\ \\ & =\mathrm{kern}({(R[X_0,X_1,\dots ,X_n{]}_{X_0})}_{-1}\oplus \cdots \oplus {(R[X_0,X_1,\dots ,X_n{]}_{X_0})}_{-1}\stackrel{X_0,X_1,\dots ,X_n}{⟶}{(R[X_0,X_1,\dots ,X_n{]}_{X_0})}_0)\\ & =\mathrm{kern}(R[Y_1,\dots ,Y_n]\cdot X_0^{-1}\oplus \cdots \oplus R[Y_1,\dots ,Y_n]\cdot X_0^{-1}\stackrel{X_0,X_0{Y}_1,\dots ,X_0{Y}_n}{⟶}R[Y_1,\dots ,Y_n])\\ & \cong R[Y_1,\dots ,Y_n]\oplus \cdots \oplus R[Y_1,\dots ,Y_n],\end{array}$

wobei zuletzt $n$ Summanden stehen und darin das Tupel $(P_1,\dots ,P_n)$ dem Tupel $(-\sum _{i=1}^n{P}_i{Y}_i{X}_0^{-1},P_1{X}_0^{-1},\dots ,P_n{X}_0^{-1})$ des Kerns entspricht. Unter der Abbildung $d$ wird das Monom

$Y^{\mu }={\left(\frac{X_1}{X_0}\right)}^{{\mu }_1}\cdots {\left(\frac{X_n}{X_0}\right)}^{{\mu }_n}=X_0^{-\sum _{j=1}^n{\mu }_j}{X}_1^{{\mu }_1}\cdots X_n^{{\mu }_n}\in \Gamma (D_{+}(X_0),{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n})$

auf das Element

$(-\left(\sum _{j=1}^n{\mu }_j\right)X_0^{-\sum _{j=1}^n{\mu }_j-1}{X}_1^{{\mu }_1}\cdots X_n^{{\mu }_n},{\mu }_1{X}_0^{-\sum _{j=1}^n{\mu }_j}{X}_1^{{\mu }_1-1}{X}_2^{{\mu }_2}\cdots X_n^{{\mu }_n},\dots ,{\mu }_n{X}_0^{-\sum _{j=1}^n{\mu }_j}{X}_1^{{\mu }_1}{X}_2^{{\mu }_2}\cdots X_n^{{\mu }_n-1})$

abgebildet. Dieses entspricht unter der oben beschriebenen Identifizierung (also die erste Komponente weglassen und mit $X_0$ multiplizieren) einfach dem Tupel der Ableitungen nach den Variablen $Y_j$. Also liegt nach Fakt die universelle Derivation des Polynomrings $R[Y_1,\dots ,Y_n]$ vor.

Zur bewiesenen Aussage