Projektiver Raum/R/Kählermodul/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir bezeichnen die Kerngarbe links, die wir als Kähler-Modul nachweisen wollen, mit

Die angegebene Abbildung (die ja von der universellen Derivation auf dem -dimensionalen Raum herrührt) macht aus einer Funktion vom Grad eine Funktion vom Grad , was man direkt für (rationale) Monome überprüfen kann. Daher liegt eine -lineare Abbildung

vor. Die Leibnizregel überträgt sich hierher, da ja die partiellen Ableitungen die Leibnizregel erfüllen. Es ist zu zeigen, dass das Bild von im Kern der hinteren Abbildung landet. Für ein Monom vom Grad ist aber

Betrachten wir die Situation auf und setzen wir . Dann ist unter Verwendung von Beispiel und Beispiel

wobei zuletzt Summanden stehen und darin das Tupel dem Tupel des Kerns entspricht. Unter der Abbildung wird das Monom

auf das Element

abgebildet. Dieses entspricht unter der oben beschriebenen Identifizierung (also die erste Komponente weglassen und mit multiplizieren) einfach dem Tupel der Ableitungen nach den Variablen . Also liegt nach Fakt die universelle Derivation des Polynomrings vor.

Zur bewiesenen Aussage