Projektiver Raum/R/Kählermodul/Fakt/Beweis

Beweis

Wir bezeichnen die Kerngarbe links, die wir als Kähler-Modul nachweisen wollen, mit

${}{\mathcal {S}}=\operatorname {Syz} {\left(X_{0},\ldots ,X_{n}\right)}\,.$

Die angegebene Abbildung ${}d$ (die ja von der universellen Derivation auf dem ${}n+1$-dimensionalen Raum herrührt) macht aus einer Funktion vom Grad ${}0$ eine Funktion vom Grad ${}-1$, was man direkt für (rationale) Monome überprüfen kann. Daher liegt eine ${}R$-lineare Abbildung

$d\colon \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\right)}$

vor. Die Leibnizregel überträgt sich hierher, da ja die partiellen Ableitungen die Leibnizregel erfüllen. Es ist zu zeigen, dass das Bild von ${}d$ im Kern der hinteren Abbildung landet. Für ein Monom ${}X^{\nu }$ vom Grad ${}0$ ist aber

${}\sum _{j=0}^{n}X_{j}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial X_{j}}}=\sum _{j=0}^{n}{\left(\nu _{j}X^{\nu }\right)}={\left(\sum _{j=0}^{n}\nu _{j}\right)}X^{\nu }=0\,.$

Betrachten wir die Situation auf ${}D_{+}(X_{0})$ und setzen wir ${}Y_{j}={\frac {X_{j}}{X_{0}}}$. Dann ist unter Verwendung von Beispiel und Beispiel

${}{\begin{aligned}\Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {S}}\right)}&=\operatorname {kern} \left(\Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)\right)}^{\oplus n+1}{\stackrel {X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}}{\longrightarrow }}\Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}\right)\\&=\operatorname {kern} {\Bigl (}{\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{-1}\oplus \cdots \oplus {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{-1}{\stackrel {X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}}{\longrightarrow }}{\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}{\Bigr )}\\&=\operatorname {kern} {\Bigl (}R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\cdot X_{0}^{-1}\oplus \cdots \oplus R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\cdot X_{0}^{-1}{\stackrel {X_{0},X_{0}Y_{1},\ldots ,X_{0}Y_{n}}{\longrightarrow }}R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]{\Bigr )}\\&\cong R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\oplus \cdots \oplus R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}],\,\end{aligned}}$

wobei zuletzt ${}n$ Summanden stehen und darin das Tupel ${}\left(P_{1},\,\ldots ,\,P_{n}\right)$ dem Tupel ${}\left(-\sum _{i=1}^{n}P_{i}Y_{i}X_{0}^{-1},\,P_{1}X_{0}^{-1},\,\ldots ,\,P_{n}X_{0}^{-1}\right)$ des Kerns entspricht. Unter der Abbildung ${}d$ wird das Monom

${}Y^{\mu }={\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}}\right)}^{\mu _{1}}\cdots {\left({\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}^{\mu _{n}}=X_{0}^{-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}}X_{1}^{\mu _{1}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}}\in \Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}\,$

auf das Element

$\left(-{\left(\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}\right)}X_{0}^{-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}-1}X_{1}^{\mu _{1}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}},\,\mu _{1}X_{0}^{-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}}X_{1}^{\mu _{1}-1}X_{2}^{\mu _{2}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}},\,\ldots ,\,\mu _{n}X_{0}^{-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}}X_{1}^{\mu _{1}}X_{2}^{\mu _{2}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}-1}\right)$

abgebildet. Dieses entspricht unter der oben beschriebenen Identifizierung (also die erste Komponente weglassen und mit ${}X_{0}$ multiplizieren) einfach dem Tupel der Ableitungen nach den Variablen ${}Y_{j}$. Also liegt nach Fakt die universelle Derivation des Polynomrings ${}R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ vor.

Zur bewiesenen Aussage