Projektiver Raum/R/Tangentialgarbe/Fakt

Es sei  ${\mathbb{P}}_R^n=\mathrm{Proj}(R[X_0,X_1,\dots ,X_n])$  der projektive Raum über einem kommutativen Ring $R$.

Dann wird die Tangentialgarbe auf ${\mathbb{P}}_R^n$ durch die kurze exakte Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}\stackrel{X_0,\dots ,X_n}{⟶}{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}(1{)}^{\oplus n+1}\stackrel{}{⟶}{𝒯}_{{\mathbb{P}}_R^n,R}\stackrel{}{⟶}0$

beschrieben.

Dabei geht hinten das globale Element $X_i{e}_j$ (das in der $j$-ten Komponente steht) auf die globale Derivation $X_i\frac{\partial }{\partial X_j}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen