Projektiver Raum/R/Tangentialgarbe/Fakt

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ der projektive Raum über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann wird die Tangentialgarbe auf ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}$ durch die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\,{\stackrel {X_{0},\ldots ,X_{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1)^{\oplus n+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {T}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n},R}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

beschrieben.

Dabei geht hinten das globale Element ${}X_{i}e_{j}$ (das in der ${}j$-ten Komponente steht) auf die globale Derivation ${}X_{i}{\frac {\partial }{\partial X_{j}}}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen