Projektiver Raum/R/Tangentialgarbe/Fakt/Beweis

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt durch Dualisieren. Der Zusatz folgt ebenfalls aus Fakt: Das Element $X_i{e}_j$ in der $j$-ten Komponente von ${𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}(1{)}^{\oplus n+1}$ entspricht beim Dualisieren der Abbildung

$X_i\circ p_j:{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}(-1{)}^{\oplus n+1}⟶{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n},$

also der Projektion auf die $j$-te Komponente gefolgt von der Multiplikation mit $X_i$. Dies entspricht wiederum, aufgefasst als Linearform auf dem Modul der Kähler-Differentialformen  ${\Omega }_{{\mathbb{P}}_R^n|R}\subseteq {𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n}(-1{)}^{\oplus n+1}$,  der Linearform, die zur Derivation $f\mapsto X_i\frac{\partial f}{\partial X_j}$ gehört.

Zur bewiesenen Aussage