Projektiver Raum/R oder C/Repräsentiert durch Sphäre/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir behandeln die beiden Fälle parallel. Jeder Punkt der Sphäre definiert eine (reelle oder komplexe) Gerade durch den Nullpunkt im umliegenden Raum oder und damit einen Punkt im projektiven Raum. Zwei Punkte definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn es einen Skalar mit gibt. Wegen der Multiplikativität der Norm ist dann auch , woraus sich wegen sofort ergibt. Dies bedeutet im reellen Fall und im komplexen Fall, dass ist, also zum Einheitskreis gehört.