Projektiver Raum/R oder C/Repräsentiert durch Sphäre/Fakt/Beweis

Beweis

Wir behandeln die beiden Fälle parallel. Jeder Punkt der Sphäre ${}S$ definiert eine (reelle oder komplexe) Gerade durch den Nullpunkt im umliegenden Raum $\mathbb {R} ^{n+1}$ oder ${\mathbb {C} }^{n+1}$ und damit einen Punkt im projektiven Raum. Zwei Punkte  ${}z,w\in S$  definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn es einen Skalar  ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$  mit  ${}z=\lambda w$  gibt. Wegen der Multiplikativität der Norm ist dann auch  ${}\Vert {z}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {w}\Vert$,  woraus sich wegen  ${}z,w\in S$  sofort  ${}\vert {\lambda }\vert =1$  ergibt. Dies bedeutet im reellen Fall  ${}\lambda =\pm 1$  und im komplexen Fall, dass  ${}\lambda \in S^{1}\subset {\mathbb {C} }$  ist, also zum Einheitskreis gehört.

Zur bewiesenen Aussage