Projektiver Raum/R oder C/Repräsentiert durch Sphäre/Fakt/Beweis

Beweis

Wir behandeln die beiden Fälle parallel. Jeder Punkt der Sphäre $S$ definiert eine (reelle oder komplexe) Gerade durch den Nullpunkt im umliegenden Raum ${ℝ}^{n+1}$ oder ${ℂ}^{n+1}$ und damit einen Punkt im projektiven Raum. Zwei Punkte  $z,w\in S$  definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn es einen Skalar  $\lambda \in 𝕂$  mit  $z=\lambda w$  gibt. Wegen der Multiplikativität der Norm ist dann auch  $\Vert z\Vert =|\lambda |\cdot \Vert w\Vert$,  woraus sich wegen  $z,w\in S$  sofort  $|\lambda |=1$  ergibt. Dies bedeutet im reellen Fall  $\lambda =\pm 1$  und im komplexen Fall, dass  $\lambda \in S^1\subset ℂ$  ist, also zum Einheitskreis gehört.

Zur bewiesenen Aussage