Projektiver Raum/R oder C/Repräsentiert durch Sphäre/Fakt/Beweis

Beweis

Wir behandeln die beiden Fälle parallel. Jeder Punkt der Sphäre ${}S$ definiert eine (reelle oder komplexe) Gerade durch den Nullpunkt im umliegenden Raum $\mathbb {R} ^{n+1}$ oder ${\mathbb {C} }^{n+1}$ und damit einen Punkt im projektiven Raum. Zwei Punkte ${}z,w\in S$ definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn es einen Skalar ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ mit ${}z=\lambda w$ gibt. Wegen der Multiplikativität der Norm ist dann auch ${}\Vert {z}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {w}\Vert$, woraus sich wegen ${}z,w\in S$ sofort ${}\vert {\lambda }\vert =1$ ergibt. Dies bedeutet im reellen Fall ${}\lambda =\pm 1$ und im komplexen Fall, dass ${}\lambda \in S^{1}\subset {\mathbb {C} }$ ist, also zum Einheitskreis gehört.

Zur bewiesenen Aussage