Projektiver Raum/R oder C/Repräsentiert durch Sphäre/Fakt

Man kann den reell-projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$ durch die ${}n$-dimensionale Sphäre ${}S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ modulo der Äquivalenzrelation repräsentieren, die antipodale Punkte miteinander identifiziert.

Den komplex-projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}$ kann man durch die ${}(2n+1)$-dimensionale Sphäre ${}S^{2n+1}\subset \mathbb {R} ^{2n+2}\cong {\mathbb {C} }^{n+1}$ modulo der Äquivalenzrelation repräsentieren, die zwei Punkte ${}z,w\in S^{2n+1}$ miteinander identifiziert, wenn man ${}z=\lambda w$ mit einem ${}\lambda \in S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }$ schreiben kann.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen