Projektiver Raum/Schema/Affine Räume/Überdeckung/Beispiel

Das projektive Spektrum zum standard-graduierten Polynomring $R[X_0,X_1,\dots ,X_n]$, also der projektive Raum, wird durch die $D_{+}\left(X_i\right)$ überdeckt. Man spricht von der affinen Standardüberdeckung des projekiven Raumes. Dabei ist

$\Gamma (D_{+}(X_i),{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n})={(R[X_0,X_1,\dots ,X_n{]}_{X_i})}_0=R[\frac{X_0}{X_i},\frac{X_1}{X_i},\dots ,\frac{X_{i-1}}{X_i},\frac{X_{i+1}}{X_i},\dots ,\frac{X_n}{X_i}]$

ein Polynomring in $n$ Variablen und daher ist (mit $Y_j=\frac{X_j}{X_i}$ für $j\ne i$)

$D_{+}\left(X_i\right)=\mathrm{Spek}(R[Y_0,Y_1,\dots ,Y_{i-1},Y_{i+1},\dots ,Y_n])={𝔸}_R^n.$

Der projektive $n$-dimensionale Raum wird also durch $n+1$ affine Räume überdeckt.