Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}P=\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)$ und ${}c\in K^{\times }$. Aufgrund der Multiplikativität der Beträge ist

${}\vert {cx_{i}}\vert _{v}=\vert {c}\vert _{v}\vert {x_{i}}\vert _{v}\,$

für jeden Betrag ${}v\in M_{K}$. Das überträgt sich auf die Maxima und auf die Potenzen derart, dass zwischen der mittels ${}\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)$ und der mittels ${}\left(cx_{0},\,cx_{1},\,\ldots ,\,cx_{m}\right)$ berechneten Höhe der Faktor ${}\prod _{v}\vert {c}\vert _{v}^{n_{v}}$ besteht. Dieser ist aber nach Fakt gleich ${}1$. Da wir eine Koordinate gleich ${}1$ setzen können, und die ${}1$ unter sämtlichen Beträgen aus ${}M_{K}$ den Wert ${}1$ besitzt, ist das Maximum jeweils ${}\geq 1$ und daher ist die Höhe ${}\geq 1$.

Zur bewiesenen Aussage