Punkt/F q über Z mod p/Weilsche Zetafunktion/Aufgabe/Lösung

Der Punkt mit dem Restekörper ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$ besitzt eine Gleichungsbeschreibung der Form

${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}=\mathbb {Z} /(p)[X]/(G)\,$

mit einem irreduziblen Polynom ${}G$ vom Grad ${}e$. Die Anzahl der ${}{\mathbb {F} }_{p^{r}}$-Punkte von dieser einpunktigen Varietät ist die Anzahl der Körperhomomorphismen

$\mathbb {Z} /(p)[X]/(G)\longrightarrow {\mathbb {F} }_{p^{r}},$

die durch den Wert von ${}X$ festgelegt sind. Nach Fakt gibt es einen solchen Homomorphismus genau dann, wenn ${}r$ ein Vielfaches von ${}e$ ist. In diesem Fall ist das Bild von ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$ in ${}{\mathbb {F} }_{p^{r}}$ eindeutig bestimmt, allerdings gibt es verschiedene Homomomorphismen, die von der Galoisgruppe von ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$ herrühren. Die Anzahlen ${}N_{r}$ sind also gleich

${}N_{r}={\begin{cases}0,{\text{ wenn }}r{\text{ kein Vielfaches von }}e{\text{ ist}}\,,\\e,{\text{ wenn }}r{\text{ ein Vielfaches von }}e{\text{ ist}}\,.\end{cases}}\,$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}&=\sum _{s=1}^{\infty }e{\frac {t^{es}}{es}}\\&=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {t^{es}}{s}}\\&=\ln {\frac {1}{1-t^{e}}}.\end{aligned}}$

Die Weilsche Zeta-Funktion ist also

${}Z(t)={\frac {1}{1-t^{e}}}\,.$

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