Punktierte Kreisscheibe/Meromorph/Ganzheitsgleichung/Meromorph/Aufgabe/Lösung

Indem wir ${}U$ verkleinern können wir davon ausgehen, dass der Nullpunkt die einzige Polstelle der ${}\alpha _{j}$ ist. Es sei ${}m$ das Maximum der Polordnung der ${}\alpha _{j}$ im Nullpunkt. Wir multiplizieren die Gleichung mit ${}z^{md}$ und erhalten die neue Gleichung

${}{\begin{aligned}0&=z^{md}{\left(f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}\right)}\\&=(z^{m}f)^{d}+z^{m}\alpha _{d-1}(z^{m}f)^{d-1}+\cdots +z^{m(d-2)}\alpha _{2}(z^{m}f)^{2}+(z^{m}f)z^{m(d-1)}\alpha _{1}+z^{md}\alpha _{0}.\end{aligned}}$

Dies lesen wir als eine Ganzheitsgleichung für die Funktion ${}z^{m}f$ über den auf ${}U$ holomorphen Koeffizientenfunktionen ${}z^{m(d-j)}\alpha _{j}$. Aus Aufgabe

folgt, dass ${}z^{m}f$ holomorph auf ${}U$ ist. Also ist ${}f$ meromorph auf ${}U$.

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