Punktierte affine Gerade/Potenzieren/Verzweigung/Ordnung/Beispiel

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten den Ringhomomorphismus

$\varphi \colon K[Y]\longrightarrow K[X],\,Y\longmapsto X^{n},$

zu ${}n\geq 2$, der der Abbildung

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n}=y$

entspricht. Zu einem maximalen Ideal ${}(X-a)$ ist

${}\varphi ^{-1}(X-a)=(Y-a^{n})\,,$

und oberhalb von ${}(Y-b)$ liegen die maximalen Ideale ${}(X-a)$ mit

${}a^{n}=b\,.$

Dies ist die idealtheoretische Interpretation der ${}n$-ten Potenzierung. Insbesondere liegen die Ringhomomomorphismen

$K[Y]_{(Y-b)}\longrightarrow K[X]_{(X-a)},\,Y\longmapsto X^{n}$

zwischen diskreten Bewertungsringen vor. Dabei wird die Ortsuniformisierende ${}(Y-b)$ auf

$X^{n}-b=X^{n}-a^{n}=(X-a)(X^{n-1}+X^{n-2}a^{1}+\cdots +Xa^{n-2}+a^{n-1})\,$

abgebildet. In dieser Produktdarstellung ist der linke Faktor die Ortsuniformisierende des zweiten Bewertungsringes. Der zweite Faktor wird, wenn man für ${}X$ die Zahl ${}a$ einsetzt, zu ${}na^{n-1}$. Wenn ${}n$ und ${}a$ beide Einheiten in ${}K$ sind, so ist dieser Faktor eine Einheit in ${}K[X]_{(X-a)}$ und daher ist die Verzweigungsordnung gleich ${}1$, es liegt also keine Verzweigung vor. Wenn hingegen ${}n$ keine Einheit ist, wenn also die Charakteristik von ${}K$ ein Teiler von ${}n$ ist, so liegt Verzweigung vor. Wenn ${}n=p$ die positive Charakteristik ist, so ist ${}X^{p}-a^{p}$ und die Verzweigungsordnung ist in jedem Punkt gleich ${}p$. Wenn ${}a=0$ ist, so ist die Verzweigungsordnung direkt gleich ${}n$ im Nullpunkt.