Punktierte komplexe Zahlen/Analytische Fortsetzung/Logarithmus/Beispiel

Wir betrachten die riemannsche Fläche

${}X={\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,.$

Zur komplexen Exponentialfunktion

$\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$

gibt es lokal Umkehrfunktionen, die komplexe Logarithmen heißen. Die Existenz folgt aus dem Satz über die Umkehrabbildung oder aus der lokalen Existenz für Stammfunktionen zu ${}1/w$. Auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ unterscheiden sich zwei Logarithmen um ein additives Vielfaches von ${}2\pi {\mathrm {i} }$. Im Punkt ${}1$ ist die Potenzreihe

$\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}(w-1)^{k}$

die Taylorreihe eines Logarithmus mit Konvergenzradius ${}1$. Diese Potenzreihe lässt sich auf einfach zusammenhängendes ${}U$ eindeutig fortsetzen, aber nicht auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }$. Die Fortsetzung auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ nennt man auch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus.

Nach Fakt (mit ${}f=z$) gehen die verschiedenen Logarithmen in einem Punkt auseinander durch analytische Fortsetzung hervor. Mit jeder Umdrehung des Nullpunktes erreicht man eine Verschiebung des Logarithmus um ${}2\pi {\mathrm {i} }$.