Satz über die Umkehrabbildung/K/Stetig differenzierbar/Fakt

Der Satz über die Umkehrabbildung

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei  ${}G\subseteq V_{1}$  offen und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei  ${}P\in G$  ein Punkt derart, dass das totale Differential

$\left(D\varphi \right)_{P}$

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge  ${}U_{1}\subseteq G$  und eine offene Menge  ${}U_{2}\subseteq V_{2}$  mit  ${}P\in U_{1}$  und mit  ${}\varphi (P)\in U_{2}$  derart, dass ${}\varphi$ eine Bijektion

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

induziert, und dass die Umkehrabbildung

$(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

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