Satz über die Umkehrabbildung/K/Stetig differenzierbar/Fakt

Der Satz über die Umkehrabbildung

Es seien $V_1$ und $V_2$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, sei  $G\subseteq V_1$  offen und es sei

$\phi :G⟶V_2$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei  $P\in G$  ein Punkt derart, dass das totale Differential

${\left(D\phi \right)}_P$

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge  $U_1\subseteq G$  und eine offene Menge  $U_2\subseteq V_2$  mit  $P\in U_1$  und mit  $\phi (P)\in U_2$  derart, dass $\phi$ eine Bijektion

$\phi {|}_{U_1}:U_1⟶U_2$

induziert, und dass die Umkehrabbildung

$(\phi {|}_{U_1}{)}^{-1}:U_2⟶U_1$

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Einen Beweis erstellen