Punktierte komplexe Zahlen/Potenz/Überlagerung/Decktransformationsgruppe/Beispiel

Zur Überlagerung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto w^{n},$

ist die Decktransformationsgruppe gleich der Gruppe der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln

${}E_{n}={\left\{\zeta \in {\mathbb {C} }\mid \zeta ^{n}=1\right\}}=\{e^{\frac {2\pi k{\mathrm {i} }}{n}}{|}\,k=0,\ldots ,n-1\}\,,$

siehe Fakt. Dabei wirkt eine Einheitswurzel ${}\zeta$ durch die Multiplikation

$\mu _{\zeta }\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,z\longmapsto \zeta z,$

als Decktransformation. Die Gesamtzuordnung

$E_{n}\longrightarrow \operatorname {Deck} {\left({\mathbb {C} }^{\times }{|}{\mathbb {C} }^{\times }\right)}$

ist offenbar injektiv und ein Gruppenhomomorphismus. Bei einer beliebigen Decktransformation

$\theta \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$

ist ${}\zeta :=\theta (1)$ eine ${}n$-te Einheitswurzel. Daraus folgt ${}\theta =\mu _{\zeta }$ mit Fakt.