Punktsymmetrische Funktion/Nullpunkt kritisch/Extrema/Aufgabe/Lösung

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a) Wir zeigen, dass im Nullpunkt sämtliche Richtungsableitungen verschwinden. Dazu sei , und die zugehörige Gerade durch den Nullpunkt. Die Richtungsableitung in Richtung kann man allein auf dieser Geraden bestimmen. Mit ist auch . Die Voraussetzung überträgt sich also auf die Gerade und wir können annehmen, dass eine differenzierbare Funktion

mit der gegebenen Symmetrieeigenschaft vorliegt. Nach der eindimensionalen Kettenregel ist

Für ist somit

und daher ist

b) Sei

Diese Funktion hat überall negative Werte und nur im Nullpunkt den Wert , es liegt also ein isoliertes globales Maximum vor. Offenbar ist .

c) Sei

Diese Funktion hat auf der durch gegebenen Diagonalen ein isoliertes Minimum und auf der durch gegebenen Nebendiagonalen ein isoliertes Maximum. Insgesamt liegt also kein Extremum vor. Auch hier ist

.