Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei ein pythagoreisches Tripel. Der Fall ist ausgeschlossen. Dann ist ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten. Nach Fakt gibt es, da vorausgesetzt wurde, eine eindeutig bestimmte rationale Zahl mit

Dann gibt es eine rationale Zahl mit

Sei mit ganzen teilerfremden Zahlen , . Wir ersetzen durch und haben dann

Da und teilerfremd sind, sind auch paarweise teilerfremd. Ein Primteiler des Nenners von teilt und . Daher kommt nur in Frage. In diesem Fall wären aber und gerade, und und wären beide ungerade. Dann wäre aber ungerade im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist eine ganze Zahl.

Wenn das pythagoreische Tripel primitiv ist, so muss in dieser Darstellung oder sein. Außerdem können dann und nicht beide ungerade sein, sonst wäre ein gemeinsamer Teiler des Tripels. Wenn umgekehrt diese Bedingungen erfüllt sind, so ist das Tripel primitiv.

Zur bewiesenen Aussage