Q+xN +/Konstruktion aller Wurzeln/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Wir betrachten auf ${}\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} _{+}$ die Relation ${}(p,m)\sim (q,n)$, falls ${}p^{n}=q^{m}$ gilt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Es sei

   ${}Q=(\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} )/\sim \,$

   die zugehörige Quotientenmenge. Zeige, dass auf ${}Q$ durch

   ${}[(p,m)]\cdot [(q,n)]:=[(p^{n}q^{m},nm)]\,$

   eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.

3. Zeige, dass ${}Q$ eine kommutative Gruppe ist.
4. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, in dem es zu jedem ${}p\in \mathbb {Q} _{+}$ und jedes ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ die Wurzel ${}{\sqrt[{m}]{p}}$ gibt. Zeige, dass die Zuordnung

   $Q\longrightarrow K_{+},\,[(p,m)]\longmapsto {\sqrt[{m}]{p}},$

   ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.

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