- Es ist
-
![{\displaystyle {}{\left(\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}^{3}=\epsilon ^{3}7=7\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b881979bc27870bc6eefa78bd8b6ed70211c48)
Daher annulliert 
das Element. Als Minimalpolynom kommt nur ein Teiler
(mit rationalen Koeffizienten)
dieses Polynoms in Frage. Die andern komplexen Nullstellen dieses Polynoms sind
![{\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01db68b986895c54737cdef7751df2754e451987)
und ![{\displaystyle {}\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9459025789a5808bcf5d8586f974d964571a19)
.
Die Faktorzerlegung dieses Polynoms über 
ist daher
-
![{\displaystyle {}X^{3}-7={\left(X-{\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04575559fa565da67cbfbf28e194aa412f9a918)
Die echten Teiler des Polynoms, die den mittleren Linearfaktor als Faktor enthalten, sind
-
![{\displaystyle {}{\left(X-{\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}=X^{2}-{\left(1+\epsilon \right)}{\sqrt[{3}]{7}}X+\epsilon 7^{\frac {2}{3}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6472d2050a264c0d5f82d48003ab7166445234e6)
und
-
![{\displaystyle {}{\left(X-\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}\right)}=X^{2}-{\left(\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}{\sqrt[{3}]{7}}X+7^{\frac {2}{3}}=X^{2}+{\sqrt[{3}]{7}}X+7^{\frac {2}{3}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bccf61a7d48c5e1a6ae4f027443072714cc9ddc)
die beide keine rationalen Koeffizienten besitzen. Also ist das Minimalpolynom.
- Der Grad der Körpererweiterung ist
, da nach
Fakt
die Isomorphie
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-7)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8ed47e21f4476dcc914852ab72b8944f257b53)
gilt und somit der Grad vorliegt.
- Die konjugiert-komplexe Zahl zu
ist 
und somit ist die konjugiert-komplexe Zahl von ![{\displaystyle {}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eecfc4b774ae9ac4b6d0693187f33fc9e0acce8)
gleich . Wir behaupten, dass diese Zahl nicht zu 
gehört. Nehmen wir an, sie würde doch dazugehören. Dann ist auch
-
![{\displaystyle {}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}+\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}={\left(\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}{\sqrt[{3}]{7}}=-{\sqrt[{3}]{7}}\in L\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87825e4c373b67a9544e0542d8db16fe2c5a736)
und somit würde auch ![{\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{7}}\in L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d232001608871a4a4c02696251bbb375e444763b)
gelten. Es ist aber
-
da der Durchschnitt ein Zwischenkörper ist, dessen Grad ein Teiler des Gesamtgrades sein muss. Wegen ![{\displaystyle {}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\notin \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd7f062947f8621cdd31d421e30745cff460d3b)
ist aber der Grad ausgeschlossen und der Grad muss 
sein. Dies ist ein Widerspruch, da reell, aber nicht rational ist.
