Q nach R/Monoton wachsend/Limes von unten/Fortsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${}f$ wachsend. Es sei ${}x_{n}$ eine rationale streng wachsende Folge, die gegen ${}x$ konvergiert. Dann ist auch ${}f(x_{n})$ eine wachsende Folge. Es sei ${}z\in \mathbb {Q}$ mit ${}z\geq x\geq x_{n}$. Dann ist auch

${}f(z)\geq f(x_{n})\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Die Bildfolge ist also wachsend und nach oben beschränkt, daher besitzt sie nach Fakt einen Grenzwert in ${}\mathbb {R}$. Es sei ${}y_{n}$ eine weitere rationale streng wachsende Folge, die gegen ${}x$ konvergiert. Dann gibt es zu jedem ${}n$ ein ${}m$ mit

${}x_{n}\leq y_{m}\,.$

Wegen der Monotonie von ${}f$ überträgt sich dies auf die Bildfolgen, d.h. es ist

${}f(x_{n})\leq f(y_{m})\,$

Somit ist

${}\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})\leq \lim _{n\rightarrow \infty }f(y_{n})\,$

und wegen der Symmetrie der Situation konvergieren beide Folgen gegen den gleichen Grenzwert.

Zur bewiesenen Aussage