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Q nach R/Monoton wachsend/Limes von unten/Fortsetzung/Fakt/Beweis

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Beweis

Ohne Einschränkung sei wachsend. Es sei eine rationale streng wachsende Folge, die gegen konvergiert. Dann ist auch eine wachsende Folge. Es sei mit . Dann ist auch

für alle . Die Bildfolge ist also wachsend und nach oben beschränkt, daher besitzt sie nach Fakt einen Grenzwert in . Es sei eine weitere rationale streng wachsende Folge, die gegen konvergiert. Dann gibt es zu jedem ein mit

Wegen der Monotonie von überträgt sich dies auf die Bildfolgen, d.h. es ist

Somit ist

und wegen der Symmetrie der Situation konvergieren beide Folgen gegen den gleichen Grenzwert.