Q nach R/Monoton wachsend/Limes von unten/Fortsetzung/Fakt

Es sei

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine monotone Funktion.

Dann ist für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ und jede rationale streng wachsende Folge ${}x_{n}\in \mathbb {Q}$, ${}x_{n}<x$, die gegen ${}x$ konvergiert, die Folge ${}f(x_{n})$ konvergent mit einem nur von ${}x$ abhängigen Grenzwert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen