Quadrat/Schneckenbewegung/Reelle Zahlen/Beispiel

Wir betrachten ein Quadrat mit den Eckpunkten ${}(0,0),\,(0,1),\,(1,0),\,(1,1)$. Eine Schnecke kriecht innerhalb des Quadrates von ${}(0,0)$ nach ${}(1,1)$ und eine zweite Schnecke von ${}(1,0)$ nach ${}(0,1)$. Treffen sich die beiden Schleimspuren? Diese Frage ist nicht ohne Bezug auf Zahlenbereiche zu beantworten. Wenn es sich um (stückweise) lineare Bewegungen handelt, die beispielsweise über den rationalen Zahlen definiert sind, so gibt es auch einen Schnittpunkt mit rationalen Koordinaten (vergleiche Fakt). Wenn sich dagegen die beiden Schnecken längs der Kreise mit Radius ${}1$ bewegen, so gibt es „optisch“ betrachtet einen Schnittpunkt ${}(x,y)$. Da dieser auf den beiden Kreisen liegt, erhalten wir die beiden Bedingungen

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

und

${}(x-1)^{2}+y^{2}=1\,,$

was auf

${}0=x^{2}-(x-1)^{2}=2x-1\,,$

also ${}x={\frac {1}{2}}$ führt und auch von der Symmetrie der Situation her klar ist. Dies führt allerdings zu

${}y^{2}={\frac {3}{4}}\,,$

also

${}y={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,,$

und dies ist nach Fakt eine irrationale Zahl. Es gibt also innerhalb der rationalen Zahlen keinen Schnittpunkt. Innerhalb der reellen Zahlen werden wir mit dem Stetigkeitskonzept und dem Zwischenwertsatz eine Situation kennenlernen, indem es stets Schnittpunkts gibt.