Quadrat/Standardvektoren als Ecken/Symmetriegruppe/Matrizen/Aufgabe/Lösung

a) Die eigentlichen Symmetrien sind die Drehungen am Quadrat, und zwar die Identität, die Vierteldrehung (gegen den Uhrzeigersinn), die Halbdrehung und die Dreivierteldrehung. Die zugehörigen Matrizen sind

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$

b) Die uneigentlichen Symmetrien sind die Achsenspiegelungen an der ${}x$-Achse, der ${}y$-Achse und an den beiden Diagonalen. Die zugehörigen Matrizen sind

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

c) Wegen

${}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,$

ist die Gruppe nicht kommutativ.

Zur gelösten Aufgabe