Quadratabbildung/Linear/F 2/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}\varphi (1+1)=\varphi (2)=4\neq 1+1=\varphi (1)+\varphi (1)\,,$

   somit ist ${}\varphi$ auf ${}\mathbb {Q}$ nicht linear.

2. Für den Körper mit zwei Elementen ${}\mathbb {Z} /(2)=\{0,1\}$ ist ${}\varphi (0)=0$ und ${}\varphi (1)=1$. Also ist ${}\varphi$ die Identität und somit linear.
3. Es ist

   ${}\varphi (u+v)=(u+v)^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}=u^{2}+v^{2}=\varphi (u)+\varphi (v)\,,$

   daher erfüllt ${}\varphi$ die Additivität. Sie ist aber nicht mit der Skalierung verträglich und somit nicht linear. Nehmen wir an, dass ${}\varphi$ mit der Skalierung verträglich wäre. Dann ist für jedes ${}s\in K$

   ${}s^{2}=\varphi (s)=\varphi (s1)=s\varphi (1)=s1=s\,.$

   In einem Körper gibt es aber nur zwei Elemente, die die Gleichung

   ${}s^{2}=s\,$

   erfüllen.

Zur gelösten Aufgabe