Quadratabbildung/Linear/F 2/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}\varphi (1+1)=\varphi (2)=4\neq 1+1=\varphi (1)+\varphi (1)\,,$

somit ist ${}\varphi$ auf ${}\mathbb {Q}$ nicht linear.

b) Für den Körper mit zwei Elementen  ${}\mathbb {Z} /(2)=\{0,1\}$  ist  ${}\varphi (0)=0$  und  ${}\varphi (1)=1$.  Also ist ${}\varphi$ die Identität und somit linear.

c) Es ist

${}\varphi (u+v)=(u+v)^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}=u^{2}+v^{2}=\varphi (u)+\varphi (v)\,,$

daher erfüllt ${}\varphi$ die Additivität. Sie ist aber nicht mit der Skalierung verträglich und somit nicht linear. Nehmen wir an, dass ${}\varphi$ mit der Skalierung verträglich wäre. Dann ist für jedes  ${}s\in K$ 

${}s^{2}=\varphi (s)=\varphi (s1)=s\varphi (1)=s1=s\,.$

In einem Körper gibt es aber nur zwei Elemente, die die Gleichung

${}s^{2}=s\,$

erfüllen.

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