Quadratische Gaußsumme/Kreisteilungsring/Gerader Automorphismus/Aufgabe

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und

$g=\sum _{r=0}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right){\zeta }^r$

die (erste) quadratische Gaußsumme. Es sei $\sigma$ ein Automorphismus des $p$-ten Kreisteilungsringes. Zeige, dass  $\sigma (g)=g$  genau dann gilt, wenn unter den Isomorphismen

$\mathrm{Aut}(R_p)\cong {(\mathbb{Z}/(p))}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/(p-1),+,0)$

$\sigma$ durch eine gerade Zahl repräsentiert wird.

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