Quadratische Gaußsumme/Kreisteilungsring/Gerader Automorphismus/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und

${}g=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\,$

die (erste) quadratische Gaußsumme. Es sei ${}\sigma$ ein Automorphismus des ${}p$-ten Kreisteilungsringes. Zeige ${}\sigma (g)=g$ genau dann gilt, wenn unter den Isomorphismen

${}\operatorname {Aut} \,(R_{p})\cong {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p-1),+,0\right)}\,$

${}\sigma$ durch eine gerade Zahl repräsentiert wird.

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