Quadratische Gleichung/Geometrische Lösungen/Aufgabe/Lösung

Die Parameter ${}p,q$ seien als Punkte der ${}x$-Achse gegeben. Wir tragen die Punkte ${}-p$ auf der ${}x$-Achse und ebenso auf der ${}y$-Achse ein. Die Verbindungsgerade zu den Punkten ${}(-p,0)$ und ${}(0,-p)$ sei mit ${}G$ bezeichnet, ihre Gleichung ist

${}x+y=-p\,.$

(diese Gleichung ist auch bei ${}p=0$ zu nehmen). Man konstruiert nun die Zahl ${}{\sqrt {p^{2}-2q}}$ gemäß Fakt. Damit kann man auch den Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und diesem Radius konstruieren, die zugehörige Kreisgleichung ist

${}x^{2}+y^{2}=p^{2}-2q\,.$

Es sei ${}(x,y)$ ein Schnittpunkt der Geraden und des Kreises. Dann ist

${}xy={\frac {(x+y)^{2}-x^{2}-y^{2}}{2}}={\frac {(-p)^{2}-{\left(p^{2}-2q\right)}}{2}}=q\,.$

Nach dem Satz von Vieta (genauer der Umkehrung) sind ${}x$ und ${}y$

die Lösungen der quadratischen Gleichung.

Zur gelösten Aufgabe