Quadratische Körpererweiterung/Z mod 13/Adjungiere Wurzel 5/Aufgabe

Betrachte den Körper ${}\mathbb {Z} /(13)=\{0,1,2,...,12\}$ mit ${}13$ Elementen.

1. Zeige, dass ${}5$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(13)$ ist und folgere, dass

   ${}\mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-5)=:\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]\,$

   ein Körper ist.

2. Betrachte die quadratische Körpererweiterung

   ${}\mathbb {Z} /(13)\subset \mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]\,$

   und berechne

   $(2+3{\sqrt {5}})(1+11{\sqrt {5}})(10+7{\sqrt {5}})$

3. Finde das Inverse zu ${}7+3{\sqrt {5}}$ in ${}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]$.
4. Zeige, dass ${}-5$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(13)$ ist, dafür aber in ${}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]$.

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