Quadratische Körpererweiterung/Z mod 13/Adjungiere Wurzel 5/Aufgabe

Betrachte den Körper  $\mathbb{Z}/(13)=\{0,1,2,\mathrm{...},12\}$  mit $13$ Elementen.

1. Zeige, dass $5$ kein Quadrat in $\mathbb{Z}/(13)$ ist und folgere, dass

   $\mathbb{Z}/(13)[X]/(X^2-5)=:\mathbb{Z}/(13)[\sqrt{5}]$

   ein Körper ist.

2. Betrachte die quadratische Körpererweiterung

   $\mathbb{Z}/(13)\subset \mathbb{Z}/(13)[\sqrt{5}]$

   und berechne

   $(2+3\sqrt{5})(1+11\sqrt{5})(10+7\sqrt{5})$

3. Finde das Inverse zu $7+3\sqrt{5}$ in $\mathbb{Z}/(13)[\sqrt{5}]$.
4. Zeige, dass $-5$ kein Quadrat in $\mathbb{Z}/(13)$ ist, dafür aber in $\mathbb{Z}/(13)[\sqrt{5}]$.

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