Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen/Textabschnitt

Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene

Die Eisenstein-Zahlen sind der Ganzheitsring des quadratischen Zahlkörpers ${}\mathbb {Q} {\left({\sqrt {-3}}\right)}$, also der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-3$. Nach Fakt haben die Eisenstein-Zahlen die Form

${}z=a+b{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}\right)}\,$

mit ganzen Zahlen ${}a$ und ${}b$. Insbesondere ist ${}\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/3}$ eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine (primitive) dritte Einheitswurzel, so dass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Es ist also ${}\omega ^{3}=1$ und wegen ${}\omega ^{3}-1=(\omega -1)(\omega ^{2}+\omega +1)$ gilt die Gleichung

${}\omega ^{2}+\omega +1=0\,.$