Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen/Textabschnitt

Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene

Die Eisenstein-Zahlen sind der Ganzheitsring des quadratischen Zahlkörpers $\mathbb{Q}\left(\sqrt{-3}\right)$, also der quadratische Zahlbereich zu $D=-3$. Nach Fakt haben die Eisenstein-Zahlen die Form

$z=a+b(\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\sqrt{3})$

mit ganzen Zahlen $a$ und $b$. Insbesondere ist  $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\sqrt{3}=e^{2\pi \mathrm{i}/3}$  eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine (primitive) dritte Einheitswurzel, sodass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Es ist also  ${\omega }^3=1$  und wegen  ${\omega }^3-1=(\omega -1)({\omega }^2+\omega +1)$  gilt die Gleichung

${\omega }^2+\omega +1=0.$