Quadratische Zahlbereiche/Eisensteinzahlen und Z sqrt -3/Änderung der Assoziiertheit/Aufgabe

Es sei ${}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$. Betrachte die beiden Unterringe

${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]\subset \mathbb {Z} [\omega ]=S\,$

der komplexen Zahlen (${}S$ ist also der Ring der Eisensteinzahlen). Finde ein Beispiel von zwei Elementen in ${}R$, die in ${}R$ nicht assoziiert sind, wohl aber in ${}S$. Man gebe daran anschließend ein Beispiel eines irreduziblen Elementes in ${}R$, das nicht prim ist (in ${}R$). Ist es prim in ${}S$?

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