Quadratische Zahlbereiche/Faktoriell und euklidisch/Bemerkung

Für ein vorgegebenes quadratfreies $D$ kann man grundsätzlich effektiv entscheiden, ob der quadratische Zahlbereich $A_D$ faktoriell ist oder nicht. Für  $D<0$  ist dies genau für

$D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163$

der Fall. Es war bereits von Gauß vermutet worden, dass dies alle sind, es wurde aber erst 1967 von Heegner und Stark bewiesen. Man weiß auch, für welche von diesen $D$ der Ganzheitsbereich euklidisch ist, nämlich nach Fakt für  $D=-1,-2,-3,-7,-11$,  aber nicht für die anderen vier Werte.

Für  $D>0$  wird vermutet, dass für unendlich viele Werte der Ganzheitsbereich faktoriell ist. Für  $D<100$  liegt ein faktorieller Bereich für die Werte

$2,3,5,6,7,11,13,14,17,19,21,23,29,31,33,37,38,41,43,46,47,$

$53,57,59,61,62,67,69,71,73,77,83,86,89,93,94,97$

vor. Dagegen weiß man (Chatland und Davenport 1950), für welche positiven $D$ der Ganzheitsbereich $A_D$ euklidisch ist, nämlich für  $D=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73$.