Quadratische Zahlbereiche/Faktoriell und euklidisch/Bemerkung

Für ein vorgegebenes quadratfreies ${}D$ kann man grundsätzlich effektiv entscheiden, ob der quadratische Zahlbereich ${}A_{D}$ faktoriell ist oder nicht. Für ${}D<0$ ist dies genau für

${}D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\,$

der Fall. Es war bereits von Gauß vermutet worden, dass dies alle sind, es wurde aber erst 1967 von Heegner und Stark bewiesen. Man weiß auch, für welche von diesen ${}D$ der Ganzheitsbereich euklidisch ist, nämlich nach Fakt für ${}D=-1,-2,-3,-7,-11$, aber nicht für die anderen vier Werte.

Für ${}D>0$ wird vermutet, dass für unendlich viele Werte der Ganzheitsbereich faktoriell ist. Für ${}D<100$ liegt ein faktorieller Bereich für die Werte

$2,3,5,6,7,11,13,14,17,19,21,23,29,31,33,37,38,41,43,46,47,$

$53,57,59,61,62,67,69,71,73,77,83,86,89,93,94,97$

vor. Dagegen weiß man (Chatland und Davenport 1950), für welche positiven ${}D$ der Ganzheitsbereich ${}A_{D}$ euklidisch ist, nämlich für ${}D=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73$.