Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei gegeben, , . Aus Fakt folgt

Aus der zweiten Gleichung folgt, dass mit ist. Sei mit teilerfremd, . Die erste Gleichung wird dann zu bzw. . Dies bedeutet, da und teilerfremd sind, dass von geteilt wird. Da ferner quadratfrei ist, folgt, dass oder ist. Im ersten Fall ist ein Vielfaches von (da ein Vielfaches von ist), so dass ist.

Sei also , was zur Bedingung

führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo . Bei und gerade ist . Die einzigen Quadrate in sind und , so dass für keine weitere Lösung existiert. Für hingegen gibt es auch noch die Lösung und , also und beide ungerade. Diese Lösungen gehören alle zu .

Die umgekehrte Inklusion ist klar, sei also . Dann ist aber

und dabei ist eine ganze Zahl, so dass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über ergibt.

Zur bewiesenen Aussage