Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}x\in A_{D}$ gegeben, ${}x=a+b{\sqrt {D}}$, ${}a,b\in \mathbb {Q}$. Aus Fakt folgt

$N(x)=a^{2}-Db^{2}\in {\mathbb {Z} }{\text{ und }}S(x)=2a\in {\mathbb {Z} }.$

Aus der zweiten Gleichung folgt, dass ${}a={\frac {n}{2}}$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$ ist. Sei ${}b={\frac {r}{s}}$ mit ${}r,s$ teilerfremd, ${}s\geq 1$. Die erste Gleichung wird dann zu ${}{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}-D{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{2}=k\in \mathbb {Z}$ bzw. ${}n^{2}-4D{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{2}=4k$. Dies bedeutet, da ${}r$ und ${}s$ teilerfremd sind, dass ${}4D$ von ${}s^{2}$ geteilt wird. Da ferner ${}D$ quadratfrei ist, folgt, dass ${}s=1$ oder ${}s=2$ ist. Im ersten Fall ist ${}n$ ein Vielfaches von ${}2$ (da ${}n^{2}$ ein Vielfaches von ${}4$ ist), so dass ${}x\in \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ ist.

Es sei also ${}s=2$, was zur Bedingung

${}n^{2}-Dr^{2}=4k\,$

führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo ${}4$. Bei ${}n$ und ${}r$ gerade ist ${}x\in \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Die einzigen Quadrate in ${}\mathbb {Z} /(4)$ sind ${}0$ und ${}1$, so dass für ${}D=2,3\mod 4$ keine weitere Lösung existiert. Für ${}D=1\mod 4$ hingegen gibt es auch noch die Lösung ${}n=1\mod 2$ und ${}r=1\mod 2$, also ${}n$ und ${}r$ beide ungerade. Diese Lösungen gehören alle zu ${}{\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}]$.

Die umgekehrte Inklusion ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}$ ist klar, sei also ${}D=1\mod 4$. Dann ist aber

${}{\left({\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}={\frac {1+D+2{\sqrt {D}}-2-2{\sqrt {D}}}{4}}={\frac {D-1}{4}}\in \mathbb {Z} \,,$

und dabei ist ${}{\frac {D-1}{4}}$ eine ganze Zahl, so dass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über ${}\mathbb {Z}$ ergibt.

Zur bewiesenen Aussage