Beweis
Es sei
gegeben,
,
.
Aus
Fakt
folgt
-
Aus der zweiten Gleichung folgt, dass
mit
ist. Sei
mit
teilerfremd,
.
Die erste Gleichung wird dann zu
bzw.
.
Dies bedeutet, da
und
teilerfremd sind, dass
von
geteilt wird. Da ferner
quadratfrei ist, folgt, dass
oder
ist. Im ersten Fall ist
ein Vielfaches von
(da
ein Vielfaches von
ist),
sodass
ist.
Es sei also
,
was zur Bedingung
-

führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo
. Bei
und
gerade ist
.
Die einzigen Quadrate in
sind
und
, sodass für
keine weitere Lösung existiert. Für
hingegen gibt es auch noch die Lösung
und
,
also
und
beide ungerade. Diese Lösungen gehören alle zu
.
Die umgekehrte Inklusion
ist klar, sei also
.
Dann ist aber
-

und dabei ist
eine ganze Zahl, sodass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über
ergibt.