Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}x\in A_{D}$  gegeben,  ${}x=a+b{\sqrt {D}}$,   ${}a,b\in \mathbb {Q}$.  Aus Fakt folgt

$N(x)=a^{2}-Db^{2}\in {\mathbb {Z} }{\text{ und }}S(x)=2a\in {\mathbb {Z} }.$

Aus der zweiten Gleichung folgt, dass  ${}a={\frac {n}{2}}$  mit  ${}n\in \mathbb {Z}$  ist. Sei  ${}b={\frac {r}{s}}$  mit ${}r,s$ teilerfremd,  ${}s\geq 1$.  Die erste Gleichung wird dann zu  ${}{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}-D{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{2}=k\in \mathbb {Z}$  bzw.  ${}n^{2}-4D{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{2}=4k$.  Dies bedeutet, da ${}r$ und ${}s$ teilerfremd sind, dass ${}4D$ von ${}s^{2}$ geteilt wird. Da ferner ${}D$ quadratfrei ist, folgt, dass  ${}s=1$  oder  ${}s=2$  ist. Im ersten Fall ist ${}n$ ein Vielfaches von ${}2$ (da ${}n^{2}$ ein Vielfaches von ${}4$ ist), sodass  ${}x\in \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$  ist.

Es sei also  ${}s=2$,  was zur Bedingung

${}n^{2}-Dr^{2}=4k\,$

führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo ${}4$. Bei ${}n$ und ${}r$ gerade ist  ${}x\in \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$.  Die einzigen Quadrate in ${}\mathbb {Z} /(4)$ sind ${}0$ und ${}1$, sodass für  ${}D=2,3\mod 4$  keine weitere Lösung existiert. Für  ${}D=1\mod 4$  hingegen gibt es auch noch die Lösung  ${}n=1\mod 2$  und  ${}r=1\mod 2$,  also ${}n$ und ${}r$ beide ungerade. Diese Lösungen gehören alle zu ${}{\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}]$.

Die umgekehrte Inklusion  ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}$  ist klar, sei also  ${}D=1\mod 4$.  Dann ist aber

${}{\left({\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}={\frac {1+D+2{\sqrt {D}}-2-2{\sqrt {D}}}{4}}={\frac {D-1}{4}}\in \mathbb {Z} \,,$

und dabei ist ${}{\frac {D-1}{4}}$ eine ganze Zahl, sodass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über ${}\mathbb {Z}$ ergibt.

Zur bewiesenen Aussage