Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/Kähler-Differentiale/Explizit/Aufgabe/Lösung

Gemäß Fakt ist

{}{\begin{aligned}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }&=R/{\left({\sqrt {D}}\right)}dy\\&=R/(2y-1)dy\\&=\mathbb {Z} [y]/{\left(y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}},2y-1\right)}.\end{aligned}}

Wir behaupten, dass die Idealgleichheit

{}{\left(y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}},2y-1\right)}={\left(y+{\frac {D-1}{2}},D\right)}\,

gilt. Die Inklusion ${}\supseteq$ ergibt sich aus

{}-2{\left(y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}}\right)}+y{\left(2y-1\right)}=y+{\frac {D-1}{2}}\,

und wegen

{}2{\left(y+{\frac {D-1}{2}}\right)}-(2y-1)=D\,.

Die Inklusion ${}\subseteq$ ergibt sich aus der letzten Rechnung und aus

{}{\left(y-{\frac {D+1}{2}}\right)}{\left(y+{\frac {D-1}{2}}\right)}+{\frac {D-1}{4}}D=y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}}\,.

Deshalb ist

{}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=\mathbb {Z} [y]/{\left(y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}},2y-1\right)}=\mathbb {Z} [y]/{\left({\left(y+{\frac {D-1}{2}},D\right)}\right)}=\mathbb {Z} /(D)\,.