Quadratischer Zahlbereich/Ideale bis auf Radikal durch ein Element/Maximale Ideale/Aufgabe/Lösung

Da die Idealklassengruppe von ${}R$ endlich ist, gibt es ein ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass die ${}n$-te Potenz von ${}{\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal ist. Somit ist

${}{\mathfrak {a}}^{n}=(g)\,$

mit einem gewissen ${}g\in R$, ${}g\neq 0$. Da ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {a}}^{n}$ das gleiche Radikal besitzen, ist

${}f=g^{k}\in {\mathfrak {a}}\,$

für ein gewisses ${}k$. Somit stimmen die Radikale zu ${}{\mathfrak {a}}$, zu ${}{\mathfrak {a}}^{n}$, zu ${}(g)$ und zu ${}(f)$ überein. Für ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ gilt nun ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}^{n}\subseteq {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}g\in {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}f\in {\mathfrak {m}}$.

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