Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Einheitswurzeln/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen der expliziten Gestalt der Norm und Fakt ist die Einheitengruppe endlich, stimmt also mit der Einheitswurzelgruppe überein. Es sei ${}A$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl ${}D\leq -1$. Bei ${}D=-1$ ist ${}A$ der Ring der Gaußschen Zahlen und es gibt die vier Einheiten ${}1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$, und es ist ${}\triangle =-4$ nach Fakt. Dies ist der einzige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante ${}-4$. Bei ${}D=\triangle =-3$ liegt der Ring der Eisensteinzahlen vor, siehe Beispiel. Er ist zugleich der dritte und der sechste Kreisteilungsring und seine Einheitswurzelgruppe ist nach Fakt gleich ${}\mathbb {Z} /(6)$. Es sei also die Diskriminante ${}\leq -5$. Die Norm von ${}a+b{\sqrt {D}}\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ (mit ${}a,b\in \mathbb {Q}$) ist durch ${}a^{2}+b^{2}\vert {D}\vert$ gegeben. Wenn das Element zum Ganzheitsring gehört, so sind bei ${}D=2,3\mod 4$ nach Fakt die Koeffizienten ${}a,b$ ganzzahlig und aus ${}\vert {D}\vert \geq 2$ folgt ${}b=0$ und aus Fakt folgt ${}a=\pm 1$. Bei ${}D=1\mod 4$ sind ebenfalls nach Fakt die Koeffizienten ${}a,b$ ganzzahlige Vielfache von ${}1/2$ und aus ${}\vert {D}\vert \geq 7$ folgt wieder ${}b=0$ und ${}a=\pm 1$.

Zur bewiesenen Aussage