Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Einheitswurzeln/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen der expliziten Gestalt der Norm und Fakt ist die Einheitengruppe endlich, stimmt also mit der Einheitswurzelgruppe überein. Es sei $A$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl  $D\le -1$.  Bei  $D=-1$  ist $A$ der Ring der Gaußschen Zahlen und es gibt die vier Einheiten $1,-1,\mathrm{i},-\mathrm{i}$, und es ist  $\mathrm{△}=-4$  nach Fakt. Dies ist der einzige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $-4$. Bei  $D=\mathrm{△}=-3$  liegt der Ring der Eisensteinzahlen vor, siehe Beispiel. Er ist zugleich der dritte und der sechste Kreisteilungsring und seine Einheitswurzelgruppe ist nach Fakt gleich $\mathbb{Z}/(6)$. Es sei also die Diskriminante $\le -5$. Die Norm von  $a+b\sqrt{D}\in \mathbb{Q}[\sqrt{D}]$  (mit $a,b\in \mathbb{Q}$) ist durch $a^2+b^2|D|$ gegeben. Wenn das Element zum Ganzheitsring gehört, so sind bei  $D=2,3mod4$  nach Fakt die Koeffizienten $a,b$ ganzzahlig und aus  $|D|\ge 2$  folgt  $b=0$  und aus Fakt folgt  $a=\pm 1$.  Bei  $D=1mod4$  sind ebenfalls nach Fakt die Koeffizienten $a,b$ ganzzahlige Vielfache von $1/2$ und aus  $|D|\ge 7$  folgt wieder  $b=0$  und  $a=\pm 1$. 

Zur bewiesenen Aussage