Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Einheitswurzeln/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen der expliziten Gestalt der Norm und Fakt ist die Einheitengruppe endlich, stimmt also mit der Einheitswurzelgruppe überein. Es sei ${}A$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl  ${}D\leq -1$.  Bei  ${}D=-1$  ist ${}A$ der Ring der Gaußschen Zahlen und es gibt die vier Einheiten ${}1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$, und es ist  ${}\triangle =-4$  nach Fakt. Dies ist der einzige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante ${}-4$. Bei  ${}D=\triangle =-3$  liegt der Ring der Eisensteinzahlen vor, siehe Beispiel. Er ist zugleich der dritte und der sechste Kreisteilungsring und seine Einheitswurzelgruppe ist nach Fakt gleich ${}\mathbb {Z} /(6)$. Es sei also die Diskriminante ${}\leq -5$. Die Norm von  ${}a+b{\sqrt {D}}\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$  (mit ${}a,b\in \mathbb {Q}$) ist durch ${}a^{2}+b^{2}\vert {D}\vert$ gegeben. Wenn das Element zum Ganzheitsring gehört, so sind bei  ${}D=2,3\mod 4$  nach Fakt die Koeffizienten ${}a,b$ ganzzahlig und aus  ${}\vert {D}\vert \geq 2$  folgt  ${}b=0$  und aus Fakt folgt  ${}a=\pm 1$.  Bei  ${}D=1\mod 4$  sind ebenfalls nach Fakt die Koeffizienten ${}a,b$ ganzzahlige Vielfache von ${}1/2$ und aus  ${}\vert {D}\vert \geq 7$  folgt wieder  ${}b=0$  und  ${}a=\pm 1$. 

Zur bewiesenen Aussage