Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Einheitswurzeln/Fakt/Beweis

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Beweis

Wegen der expliziten Gestalt der Norm und Fakt ist die Einheitengruppe endlich, stimmt also mit der Einheitswurzelgruppe überein. Es sei der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl . Bei ist der Ring der Gaußschen Zahlen und es gibt die vier Einheiten , und es ist nach Fakt. Dies ist der einzige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante . Bei liegt der Ring der Eisensteinzahlen vor, siehe Beispiel. Er ist zugleich der dritte und der sechste Kreisteilungsring und seine Einheitswurzelgruppe ist nach Fakt gleich . Es sei also die Diskriminante . Die Norm von (mit ) ist durch gegeben. Wenn das Element zum Ganzheitsring gehört, so sind bei nach Fakt die Koeffizienten ganzzahlig und aus folgt und aus Fakt folgt . Bei sind ebenfalls nach Fakt die Koeffizienten ganzzahlige Vielfache von und aus folgt wieder und .