Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Erste Komponente minimal/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es eine Fundamentaleinheit $a+b\sqrt{D}$, und diese ist unter den Einheiten oberhalb von $1$ minimal. Es sei $a^{\prime }+b^{\prime }\sqrt{D}$ eine weitere solche Einheit $>1$. Dann ist diese von der Form

$\begin{array}{cc}{a}^{\prime }+b^{\prime }\sqrt{D}& ={(a+b\sqrt{D})}^n\\ & =a^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})a^{n-2}{b}^{2}D+\dots ((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})a^{n-1}{b}^1+\dots )\sqrt{D}\end{array}$

mit  $n\ge 2$.  Bei  $a\ge 1$  folgt daraus sofort, dass  $a^{\prime }\ge a$,  und bei  $a<1$  kommt wegen Fakt nach Fakt nur  $a=\frac{1}{2}$  in Frage, was überhaupt (unabhängig von der Einheitenbedingung) das Minimum für die erste Komponente ist.

Zur bewiesenen Aussage