Quadratischer Zahlbereich/Reell/Regulator/Bemerkung

Es sei ${}D\geq 2$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige reell-quadratische Zahlbereich. Es sei ${}A_{D}\subseteq \mathbb {R}$ eine reelle Einbettung und sei ${}u$ eine Fundamentaleinheit von ${}R$. Dann ist der Regulator von ${}A_{D}$ gleich

${}\operatorname {Reg} (A_{D})=\vert {\ln \vert {u}\vert }\vert \,.$

An dieser Definition sieht man direkt, dass wenn man ${}u$ durch eine der anderen Fundamentaleinheiten ${}-u,u^{-1},-u^{-1}$ ersetzt, dies zum gleichen Ergebnis führt: Das Vorzeichen wird durch den inneren Betrag und die Inversenbildung durch den äußeren Betrag aufgefangen. Auch von der gewählten Einbettung hängt es nicht ab, da ja die andere Einbettung aus der gegebenen Einbettung durch einen Automorphismus hervorgeht und dabei ${}u$ auf eines der drei Elemente abgebildet wird.