Quadratischer Zahlbereich/Wurzel 3/Norm 13/Aufgabe/Lösung

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Sei . Es ist

somit sind und zwei Elemente mit der Norm . Wir behaupten, dass jedes Element mit zu einem der beiden Elemente assoziiert ist. Nach Fakt gilt und somit liegt ein surjektiver Ringhomomorphismus

vor, wobei der Ring rechts nach Fakt Elemente besitzt. Ferner

ist. Dieser Ring ist also ein Produkt von zwei Körpern, und die beiden nichttrivialen Ideale sind die von bzw. erzeugten Ideale. Somit gilt in , dass und (oder und ) das gleiche Ideal erzeugen. Dann wählt man jeweils Elemente (bzw. ), die in der ersten Komponente eine Einheit und in der zweiten sind und umgekehrt. Dann ist

oder

und die Behauptung folgt aus

Fakt.