Sei
.
Es ist
-
![{\displaystyle {}N(5+2{\sqrt {3}})=(5+2{\sqrt {3}})(5-2{\sqrt {3}})=25-12=13=N(5-2{\sqrt {3}})\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021ef9a77d1ce1426163295dbd34f2f2a408f96d)
somit sind
und
zwei Elemente mit der Norm
. Wir behaupten, dass jedes Element
mit
zu einem der beiden Elemente assoziiert ist. Nach
Fakt
gilt
und somit liegt ein surjektiver Ringhomomorphismus
-
vor, wobei der Ring rechts nach
Fakt
Elemente besitzt. Ferner
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}R/N(f)&=R/(13)\\&=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-3,13)\\&=\mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-3)\\&=\mathbb {Z} /(13)[X]/(X-4)(X-9)\\&=\mathbb {Z} /(13)\times \mathbb {Z} /(13)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28a147a7a94c958f916f0fb3fda619f20a06812)
ist. Dieser Ring ist also ein Produkt von zwei Körpern, und die beiden nichttrivialen Ideale sind die von
bzw.
erzeugten Ideale. Somit gilt in
, dass
und
(oder
und
)
das gleiche Ideal erzeugen. Dann wählt man jeweils
Elemente
(bzw.
),
die in der ersten Komponente eine Einheit und in der zweiten
sind und umgekehrt. Dann ist
-
![{\displaystyle {}f={\left(5+2{\sqrt {3}}\right)}g_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f197aa4d3a1752df6b98a8a09eb329424188346)
oder
-
![{\displaystyle {}f={\left(5-2{\sqrt {3}}\right)}h_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17099e0e86d0210c0b5727d1582686ca74bf630f)
und die Behauptung folgt aus
Fakt.