Quadratischer Zahlbereich/Wurzel 3/Norm 13/Aufgabe/Lösung

Sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$. Es ist

${}N(5+2{\sqrt {3}})=(5+2{\sqrt {3}})(5-2{\sqrt {3}})=25-12=13=N(5-2{\sqrt {3}})\,,$

somit sind ${}5+2{\sqrt {3}}$ und ${}5-2{\sqrt {3}}$ zwei Elemente mit der Norm ${}13$. Wir behaupten, dass jedes Element ${}f$ mit ${}N(f)=13$ zu einem der beiden Elemente assoziiert ist. Nach Fakt gilt ${}N(f)\in (f)$ und somit liegt ein surjektiver Ringhomomorphismus

$R/N(f)\longrightarrow R/(f)$

vor, wobei der Ring rechts nach Fakt ${}13$ Elemente besitzt. Ferner

${}{\begin{aligned}R/N(f)&=R/(13)\\&=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-3,13)\\&=\mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-3)\\&=\mathbb {Z} /(13)[X]/(X-4)(X-9)\\&=\mathbb {Z} /(13)\times \mathbb {Z} /(13)\end{aligned}}$

ist. Dieser Ring ist also ein Produkt von zwei Körpern, und die beiden nichttrivialen Ideale sind die von ${}5+2{\sqrt {3}}$ bzw. ${}5-2{\sqrt {3}}$ erzeugten Ideale. Somit gilt in ${}R/N(f)$, dass ${}f$ und ${}5+2{\sqrt {3}}$ (oder ${}f$ und ${}5-2{\sqrt {3}}$) das gleiche Ideal erzeugen. Dann wählt man jeweils ${}12$ Elemente ${}g_{1},\ldots ,g_{12}$ (bzw. ${}h_{1},\ldots ,h_{12}$), die in der ersten Komponente eine Einheit und in der zweiten ${}0$ sind und umgekehrt. Dann ist

${}f={\left(5+2{\sqrt {3}}\right)}g_{j}\,$

oder

${}f={\left(5-2{\sqrt {3}}\right)}h_{j}\,$

und die Behauptung folgt aus

Fakt.

Zur gelösten Aufgabe