Quadratisches Polynom/C/Ball/Injektiv/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben

${}f(z)=z^{2}+z+1={\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}+1={\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {3}{4}}\,.$

Die Bedingung

${}f(z)=f({\tilde {z}})\,$

wird zu

${}{\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}={\left({\tilde {z}}+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,$

bzw. zu

${}{\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}=\pm {\left({\tilde {z}}+{\frac {1}{2}}\right)}\,.$

Nicht injektiv (auf einer Teilmenge) bedeutet also die Existenz von ${}z\neq {\tilde {z}}$ mit

${}{\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}=-{\left({\tilde {z}}+{\frac {1}{2}}\right)}\,$

bzw.

${}z+1=-{\tilde {z}}\,.$

1. Sei

   ${}\vert {z}\vert <{\frac {1}{2}}\,.$

   Dann liegt

   ${}\vert {\tilde {z}}\vert =\vert {z+1}\vert \geq {\frac {1}{2}}\,$

   außerhalb der offenen Kreisscheibe.

2. Sei

   ${}\vert {z}\vert ={\frac {1}{2}}\,.$

   Dann ist ${}z+1$ außerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe mit der einzigen Ausnahme

   ${}z=-{\frac {1}{2}}\,.$

   Doch dann ist auch

   ${}{\tilde {z}}=-{\frac {1}{2}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe