Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 2/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir benutzen Fakt und haben zu bestimmen, wie viele der Zahlen , , in liegen. Nun ist genau dann, wenn ist (alle zu betrachtenden Vielfachen von sind kleiner als ). Dies ist äquivalent zu und wir haben das kleinste mit dieser Eigenschaft zu finden. Ist ein Vielfaches von , so ist das kleinste und insgesamt gibt es in diesem Fall

solche . Diese Anzahl ist bei gerade und bei ungerade, was das Ergebnis in diesen Fällen ergibt.

Sei also nun bzw. . Dann ist das kleinste derart, dass ist, gleich , und es gibt insgesamt

solche . Diese Anzahl ist bei ungerade und bei gerade, was die Behauptung in diesen Fällen ergibt.

Zur bewiesenen Aussage